Overdekking (topologie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een overdekking van een verzameling een collectie van verzamelingen zodat een deelverzameling van de vereniging van verzamelingen in de collectie is. In symbolen: als

een geïndexeerde familie van verzamelingen is, dan is een overdekking van als

Overdekking in de topologie[bewerken]

Overdekkingen worden veelal gebruikt in de context van de topologie. Als de verzameling een topologische ruimte is, dan is een overdekking van een collectie van deelverzamelingen van waarvan de vereniging de gehele ruimte is. In dat geval zeggen we: overdekt of ook de verzamelingen overdekken . Als een deelverzameling van is, dan is een overdekking van een collectie van deelverzamelingen van , waarvan de vereniging bevat, dat wil dus zeggen dat een overdekking is van als

Laat een overdekking van een topologische ruimte zijn. Een deeloverdekking van is dan een deelverzameling van die nog steeds overdekt.

We zeggen dat een open overdekking is als elk van de lidmaten een open verzameling is (dat wel zeggen dat elke is vervat in de topologie op

Van een overdekking op wordt gezegd dat deze lokaal eindig is, als elk punt van een omgeving heeft, die slechts een eindig aantal verzamelingen in de overdekking doorsnijdt. In symbolen, is lokaal eindig als voor enige er enige omgeving op bestaat, zodat de verzameling

eindig is.

Van een overdekking op wordt gezegd dat deze punt-eindig is als elk punt van slechts in een eindig aantal verzamelingen in de overdekking is vervat.

Verfijning[bewerken]

Een verfijning van een overdekking van is een nieuwe overdekking op zodat elke verzameling in is vervat in enige verzameling in . In symbolen:

is een verfijning van

als er voor elke een is, zodanig dat:

.

Elke deeloverdekking is ook een verfijning, maar niet elke verfijning is een deeloverdekking.

Een deel-overdekking wordt opgebouwd uit verzamelingen die deel uitmaken van de overdekking, maar het zijn er minder; terwijl een verfijning wordt opgebouwd uit enige verzamelingen die deelverzamelingen van de verzamelingen in de overdekking zijn.

De verfijningsrelatie is een quasi-order op de verzameling van dekkingen op .

Compactheid[bewerken]

De taal van de overdekkingen wordt vaak gebruikt om verschillende topologische eigenschappen te relateren aan het begrip compactheid. Van een topologische ruimte wordt gezegd dat deze

  • compact is, als elke open overdekking een eindige deel-overdekking heeft. Dit is equivalent aan de eis dat elke open overdekking een eindige verfijning heeft.
  • Lindelöf is, als elke open overdekking een telbare deel-overdekking heeft. Dit is equivalent aan de eis dat elke open overdekking een aftelbare verfijning heeft.
  • metacompact is, als elke open overdekking een punt-eindige open verfijning heeft.
  • paracompact is, als elke open overdekking een lokaal eindige, open verfijning toestaat.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • (en) Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene Introduction to Topology (Introductie tot de topologie), Second Edition, Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6
  • (en) John L. Kelley, General Topology (Algemene topologie), D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.