Overdekking (topologie)

In de wiskunde is een overdekking van een verzameling $X$ een collectie van verzamelingen zodat $X$ een deelverzameling van de vereniging van verzamelingen in de collectie is. In symbolen: als

C=\{U_{\alpha }\mid \alpha \in A\}

een geïndexeerde familie van verzamelingen $U_{\alpha }$ is, dan is $C$ een overdekking van $X$ als

X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }

Overdekking in de topologie[bewerken | brontekst bewerken]

Overdekkingen worden veelal gebruikt in de context van de topologie. Als de verzameling $X$ een topologische ruimte is, dan is een overdekking $C$ van $X$ een collectie van deelverzamelingen $U_{\alpha }$ van $X,$ waarvan de vereniging de gehele ruimte $X$ is. In dat geval zeggen we: $C$ overdekt $X,$ of ook de verzamelingen $U_{\alpha }$ overdekken $X$ . Als $Y$ een deelverzameling van $X$ is, dan is een overdekking van $Y$ een collectie van deelverzamelingen van $X$ , waarvan de vereniging $Y$ bevat, dat wil dus zeggen dat $C$ een overdekking is van $Y$ als

\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\supseteq Y

Laat $C$ een overdekking van een topologische ruimte $X$ zijn. Een deeloverdekking van $C$ is dan een deelverzameling van $C$ die $X$ nog steeds overdekt.

We zeggen dat $C$ een open overdekking is als elk van de lidmaten een open verzameling is (dat wel zeggen dat elke $U_{\alpha }$ is vervat in de topologie $T$ op $X.$

Van een overdekking op $X$ wordt gezegd dat deze lokaal eindig is, als elk punt van $X$ een omgeving heeft, die slechts een eindig aantal verzamelingen in de overdekking doorsnijdt. In symbolen, $C=\{U_{\alpha }\}$ is lokaal eindig als voor enige $x\in X$ er enige omgeving $O(x)$ op $X$ bestaat, zodat de verzameling

\{\alpha \in A\mid U_{\alpha }\cap O(x)\neq \varnothing \}

eindig is.

Van een overdekking op $X$ wordt gezegd dat deze punt-eindig is als elk punt van $X$ slechts in een eindig aantal verzamelingen in de overdekking is vervat.

Verfijning[bewerken | brontekst bewerken]

Een verfijning van een overdekking $C$ van $X$ is een nieuwe overdekking $D$ op $X$ zodat elke verzameling in $D$ is vervat in enige verzameling in $C$ . In symbolen:

D=\{V_{\beta }\mid \beta \in B\}

is een verfijning van

C=\{U_{\alpha }\mid \alpha \in A\}

als er voor elke $\beta \in B$ een $\alpha \in A$ is, zodanig dat:

V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }

.

Elke deeloverdekking is ook een verfijning, maar niet elke verfijning is een deeloverdekking.

Een deel-overdekking wordt opgebouwd uit verzamelingen die deel uitmaken van de overdekking, maar het zijn er minder; terwijl een verfijning wordt opgebouwd uit enige verzamelingen die deelverzamelingen van de verzamelingen in de overdekking zijn.

De verfijningsrelatie is een quasi-order op de verzameling van dekkingen op $X$ .

Compactheid[bewerken | brontekst bewerken]

De taal van de overdekkingen wordt vaak gebruikt om verschillende topologische eigenschappen te relateren aan het begrip compactheid. Van een topologische ruimte $X$ wordt gezegd dat deze

compact is, als elke open overdekking een eindige deel-overdekking heeft. Dit is equivalent aan de eis dat elke open overdekking een eindige verfijning heeft.
Lindelöf is, als elke open overdekking een telbare deel-overdekking heeft. Dit is equivalent aan de eis dat elke open overdekking een aftelbare verfijning heeft.
metacompact is, als elke open overdekking een punt-eindige open verfijning heeft.
paracompact is, als elke open overdekking een lokaal eindige, open verfijning toestaat.

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]

Referenties[bewerken | brontekst bewerken]

(en) Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene Introduction to Topology (Introductie tot de topologie), Second Edition, Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6
(en) John L. Kelley, General Topology (Algemene topologie), D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.