Positief-definiete matrix

In de lineaire algebra wordt een reële $n\times n$-matrix $A$ positief-definiet genoemd, als de kwadratische vorm $x'Ax$ met $x$ een kolomvector in de $n$-dimensionale euclidische ruimte, positief-definiet is, dus als $x'Ax>0$ als $x$ niet gelijk is aan de nulvector.

Meestal wordt verondersteld dat $A$ een symmetrische matrix is, maar een positief-definiete matrix hoeft niet symmetrisch te zijn:

Bijvoorbeeld: De $2\times 2$ matrix van een vlakke rotatie over een hoek 0° ⩽ $\theta$ < 90° is niet symmetrisch, maar wel positief definiet.

Een vierkante matrix $A$ kan altijd geschreven worden als de som $A=B+C$ van een symmetrische matrix $B=(A+A')/2$ en een antisymmetrische matrix $C=(A-A')/2$, waarin $A'$ de getransponeerde matrix van $A$ is. De matrix $A$ is dan en slechts da positief-definiet als het symmetrische deel van $A$ positief-definiet is.

Indien in de definitie "$>0$" vervangen wordt door "$<0,$" spreekt men van een negatief-definiete matrix.

Bij het interpreteren van $x'Ax$ of $x^{T}Ax$ kan het ook nuttig zijn de volgende relatie in gedachten te houden: $\cos(\theta )={\frac {x^{T}Ax}{\left\Vert x\right\Vert \left\Vert Ax\right\Vert }}={\frac {<x,Ax>}{\left\Vert x\right\Vert \left\Vert Ax\right\Vert }}$ waarbij $\theta =\theta (x,Ax)={\widehat {xAx}}$

Kenmerken

• Een symmetrische matrix $A$ is positief-definiet als en slechts als alle eigenwaarden van $A$ strikt positief zijn.

Hieruit volgt dat de determinant van een symmetrische positief-definiete matrix strikt positief is (de determinant is gelijk aan het product van de eigenwaarden), en dat dergelijke matrix inverteerbaar is. De inverse matrix van een positief-definiete matrix is ook positief-definiet.

• Matrix $A$ is positief-definiet als en slechts als de determinant van elke leidende hoofdminor van $A$ strikt positief is.

Als $A$ een positief-definiete matrix is, dan is elke matrix die uit $A$ wordt verkregen door een aantal rijen en corresponderende kolommen uit $A$ weg te laten, positief-definiet. In het bijzonder zijn de diagonale elementen van $A$ strikt positief.

• Een positief-definiete matrix $A$ heeft een unieke decompositie $A=LR$ in een benedendriehoeksmatrix $L$ (met 1-en op de hoofddiagonaal) en een bovendriehoeksmatrix $R,$ met niet-nul-elementen op de diagonaal.

De Cholesky-decompositie van een positief-definiete matrix heeft de vorm $A=LL',$ waarin $L$ een benedendriehoeksmatrix is.

• Een matrix $A$ is dan en slechts dan positief-definiet als er een inverteerbare matrix $Q$ bestaat zodanig dat $A=Q'Q.$

Eigenschappen

Enkele andere eigenschappen van positief-definiete matrices:

• Het product van een positief-definiete matrix met een positief reëel getal is positief-definiet.
• De som van twee positief-definiete $n\times n$-matrices is positief-definiet.
• Als $A$ positief-definiet is, dan is voor elk positief geheel getal $p$ ook $A^{p}$ positief-definiet.
• Als $A$ positief-definiet is, bestaat voor elk positief geheel getal $p$ de matrix $A^{1/p}$ (d.w.z. er bestaat een matrix $B$ zodanig dat $B^{\;p}=A$).

Merk op dat het product van twee positief-definiete matrices niet noodzakelijk een positief-definiete matrix oplevert. Bijvoorbeeld:

$A={\begin{bmatrix}1&3\\3&10\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}1&-3\\-3&10\end{bmatrix}}$

zijn beide positief-definiet. Hun product

$AB={\begin{bmatrix}-8&27\\-27&91\end{bmatrix}}$

is echter niet positief-definiet.

Voorbeelden van positief-definiete matrices

• De identiteitsmatrix en elke diagonaalmatrix met strikt positieve elementen zijn positief-definiet.
• Hilbert-matrices.

Semi-definiete matrix

Men heeft een positief semi-definitieve matrix $A$ wanneer de strikt positieve eis in de definitie vervangen wordt door $x'Ax\geq 0$ Deze matrices kunnen eigenwaarden hebben die nul zijn.

Een matrix is negatief semi-definiet indien $x'Ax\leq 0$ voor alle niet-zero $x\in \mathbb {R}$

Belang

• Als de coëfficiëntenmatrix van een stelsel van lineaire vergelijkingen positief-definiet is, heeft het stelsel een oplossing.

• De positief-definietheid van de Hessiaan van een scalaire functie van $n$ variabelen is een voldoende voorwaarde voor de strikte convexiteit van die functie.

• Positief-definiete matrices treden op in methoden van lineaire regressie, bijvoorbeeld de kleinste-kwadratenmethode.

• In de statistiek is de covariantiematrix van een aantal toevalsvariabelen positief-definiet (of positief-semidefiniet indien een van de variabelen een lineaire combinatie is van de andere).

Bronnen

• C.R. Johnson. "Positive Definite Matrices." The American Mathematical Monthly (1970), vol. 77 nr. 3, blz. 259-264.