Rij van Padovan

Spiraal van gelijkzijdige driehoeken met zijden volgens de rij van Padovan

De rij van Padovan is een rij gehele getallen (P_n) die gedefinieerd wordt door de beginvoorwaarden:

$P_{0}=P_{1}=P_{2}=1,$

en de recurrentie betrekking

$P_{n}=P_{n-2}+P_{n-3}.$

Het begin van de rij is:

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, ...

De rij is genoemd naar de architect en schrijver Richard Padovan, die zijn ontdekking toeschreef aan de Nederlandse architect Hans van der Laan. De rij is beschreven door de wiskundige Ian Stewart in zijn column Mathematical Recreations in Scientific American van juni 1996.

Karakteristieke vergelijking

Door substitutie van P_n = xⁿ ontstaat de karakteristieke vergelijking:

$x^{3}=x+1,$

met de reële wortel ψ, het zogenaamde plastisch getal, en de complexe q en ${\bar {q}}$. Samen met de beginvoorwaarden volgt voor n > 2:

$P_{n}={\frac {\psi ^{n}}{3\psi ^{2}-1}}+{\frac {q^{n}}{3q^{2}-1}}+{\frac {{\bar {q}}^{n}}{3{\bar {q}}^{2}-1}}$

Voortbrengende functie

De voortbrengende functie van de rij van Padovan is

$\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}x^{n}={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.$

Plastisch getal

Zoals het gulden getal de limiet is van de verhouding van twee opeenvolgende termen in de rij van Fibonacci, is het plastisch getal ψ de limiet van de verhouding van twee opeenvolgende termen in de rij van Padovan:

$\psi =\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}.$

Rij van Perrin

De rij van Perrin (Per_n) voldoet aan dezelfde recurrente betrekking als de rij van Padovan, maar heeft andere beginvoorwaarden, namelijk:

$Per_{0}=3,$

$Per_{1}=0,$

$Per_{2}=2.$

Externe links

• Rij van Padovan rij A000931 in OEIS
• Rij van Padovan in MathWorld
• Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number door Richard Padovan
• Tales of a Neglected Number door Ian Stewart
• Hier staat een calculator voor de rij van Padovan

Bronnen, noten en/of referenties