Semi-algebraïsche verzameling

In de algebraïsche meetkunde is een semi-algebraïsche verzameling een deelverzameling van een n-dimensionale ruimte gedefinieerd door een eindige combinatie van polynomiale (on)gelijkheden. Ook de vereniging en/of doorsnede van een eindig aantal van dergelijke verzamelingen is een semi-algebraïsche verzameling.

Definitie

Een semi-algebraïsche verzameling $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ wordt gedefinieerd als:

$A=\bigcup _{\ell =1}^{m}\{x\in {\mathbb {R} }^{n}\mid p_{j\ell }(x)~\epsilon _{j\ell }~0,\ j=1,\ldots ,k\}$.

waarbij:

$p_{j\ell }$, reële polynomen, met $j=1,\ldots ,k$, $\ell =1,\ldots ,m$

$\epsilon _{j\ell }$, een van de volgende relaties: >, = of <

Eigenschappen

• Het complement van een semi-algebraïsche verzameling is opnieuw een semi-algebraïsche verzameling.
• De stelling van Tarski-Seidenberg garandeert dat een projectie van een semi-algebraïsche verzameling opnieuw een semi-algebraïsche verzameling is. Eliminatie is ook altijd mogelijk voor stelsels van reële algebraïsche vergelijkingen. Deze stelling geldt niet als men "reële" vervangt door "gehele".

Voorbeeld

We definiëren:

$S_{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}-4<0\}$

$S_{2}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ x+y-1=0\}$

Enkele semi-algebraïsche verzamelingen kunnen geconstrueerd worden met de genoemde verzamelingen:

$S_{3}=S_{1}\cup S_{2}$

$S_{4}=S_{1}\cap S_{2}$

De verzameling $S_{4}$ kan ook gedefinieerd worden als:

$S_{4}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}-4<0,\ x+y-1=0\}$

Bronnen, noten en/of referenties