Vlak (meetkunde): verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud

In de regel

Versie van 9 aug 2020 19:27

Een vlak of plat vlak is een plat, oneindig oppervlak of variëteit zonder enige kromming. Formeel gedefinieerd is het een tweedimensionale affiene ruimte.

Een vlak deelt een driedimensionale ruimte in tweeën. Deze twee deelruimtes worden halfruimtes genoemd.

Representaties

Een vlak kan op verschillende manieren gerepresenteerd worden.

Punt en normaalvector

Een vlak kan vastgelegd worden door een punt $P$ in het vlak en een vector $n$ loodrecht op het vlak, de normaalvector, die de oriëntatie van het vlak bepaalt. Het vlak bestaat dan uit de punten waarvan de verschilvector met $P$ loodrecht op de normaalvector staat.Het vlak is dus:

\{Q|(Q-P)\cdot n=0\}

Als $P$ en $n$ in een driedimensionale ruimte gegeven zijn door:

P=(x_{0},y_{0},z_{0}),n=(x_{n},y_{n},z_{n})

,

bestaat het vlak uit de punten $(x,y,z)$ waarvoor geldt:

xx_{n}+yy_{n}+zz_{n}=x_{0}x_{n}+y_{0}y_{n}+z_{0}z_{n}

Vlakvergelijking

Uit het voorgaande zien we dat de punten in een vlak voldoen aan de algemene vlakvergelijking:

ax+by+cz+d=0

Hierin is (a,b,c) de normaalvector van het vlak. Als $P=(x_{0},y_{0},z_{0})$ een gegeven punt in het vlak is, geldt:

d=-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}

Drie punten

Drie punten $P_{1}$ , $P_{2}$ en $P_{3}$ die niet op één rechte liggen, bepalen precies het vlak:

\{aP_{1}+bP_{2}+cP_{3}|a+b+c=1\}

Zie ook

Externe link

Wikiboek: Analytische ruimtemeetkunde aan de hand van vectoren

@@ Regel 8: / Regel 8: @@
 === Punt en normaalvector ===
-Een vlak kan vastgelegd worden door een [[punt (meetkunde)|punt]] ''P'' in het vlak en een [[vector (wiskunde)|vector]] ''n'' [[loodrecht (meetkunde)|loodrecht]] op het vlak, de [[normaalvector]], die de [[Oriëntatie (meetkunde)|oriëntatie]] van het vlak bepaalt. Het vlak bestaat dan uit de punten waarvan de verschilvector met ''P'' loodrecht op de normaalvector staat.Het vlak is dus:
+Een vlak kan vastgelegd worden door een [[punt (meetkunde)|punt]] <math>P</math> in het vlak en een [[vector (wiskunde)|vector]] <math>n</math> [[loodrecht (meetkunde)|loodrecht]] op het vlak, de [[normaalvector]], die de [[Oriëntatie (meetkunde)|oriëntatie]] van het vlak bepaalt. Het vlak bestaat dan uit de punten waarvan de verschilvector met <math>P</math> loodrecht op de normaalvector staat.Het vlak is dus:
 :<math>\{Q|(Q-P)\cdot n=0\}</math>
-Als ''P'' en ''n'' in een driedimensionale ruimte gegeven zijn door:
+Als <math>P</math> en <math>n</math> in een driedimensionale ruimte gegeven zijn door:
 :<math>P=(x_0,y_0,z_0), n=(x_n,y_n,z_n)</math>,
-bestaat het vlak uit de punten (x,y,z) waarvoor geldt:
+bestaat het vlak uit de punten <math>(x,y,z)</math> waarvoor geldt:
-:<math>xx_n+yy_n+zz_n=x_0x_n+y_0y_n+z_0z_n</math>.
+:<math>xx_n+yy_n+zz_n=x_0x_n+y_0y_n+z_0z_n</math>
 === Vlakvergelijking ===
@@ Regel 24: / Regel 22: @@
 Hierin is (a,b,c) de normaalvector van het vlak. Als <math>P=(x_0,y_0,z_0)</math> een gegeven punt in het vlak is, geldt:
-:<math> d = -a x_0 - b y_0 - c z_0</math>.
+:<math>d = -a x_0 - b y_0 - c z_0</math>
 === Drie punten ===
-Drie punten ''P''<sub>1</sub>, ''P''<sub>2</sub> en ''P''<sub>3</sub> die niet op één [[Lijn (meetkunde)|rechte]] liggen, bepalen precies het vlak:
+Drie punten <math>P_1</math>, <math>P_2</math> en <math>P_3</math> die niet op één [[Lijn (meetkunde)|rechte]] liggen, bepalen precies het vlak:
-:<math>\{a P_1+b P_2 +c P_3|a+b+c=1\}</math>.
+:<math>\{a P_1+b P_2 +c P_3|a+b+c=1\}</math>
 == Zie ook ==