In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het standaardinproduct of canonieke inproduct het inwendig product dat normaal gebruikt wordt in de eindigdimensionale reële en complexe euclidische ruimten
respectievelijk
. Met behulp van het standaardinproduct kunnen de gebruikelijke begrippen van lengte en hoek gedefinieerd worden.
Definitie
Reëel standaardinproduct
Het standaardinproduct van twee vectoren
is gedefinieerd als
.
Vat men
en
op als kolomvectoren:
,
dan kan het standaardinproduct geschreven worden als matrixproduct:
.
Complex standaardinproduct
Van het complexe standaardinproduct van twee vectoren
bestaan twee versies.
![{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+{\bar {x}}_{2}y_{2}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f5580850ec30ae3b38422b116da33ba1d91d89)
en
.
De beide versies verschillen slechts daarin dat ze elkaars complex geconjugeerde zijn:
.
Vat men
en
op als kolomvectoren:
,
dan kan het complexe standaardinproduct geschreven worden als matrixproduct:
.
Eigenschappen
Het reële standaardinproduct heeft de eigenschap dat voor iedere reële vierkante matrix
van orde gelijk aan de dimensie van de vectorruimte, geldt:
.
Voor het complexe standaardinproduct geldt een soortgelijke de eigenschap, namelijk dat voor iedere complexe vierkante matrix
van orde gelijk aan de dimensie van de vectorruimte, geldt:
.
Afgeleide begrippen
Norm
De norm van een reële of complexe vector
die is afgeleid van het standaardinproduct, wordt euclidische norm genoemd, en heeft de vorm:
.
Afstand
Van de euclidische norm wordt de euclidische afstand
tussen twee reële of complexe vectoren
en
afgeleid:
.
Hoek
De hoek
tussen twee reële vectoren
en
wordt afgeleid van het reële standaardinproduct, via:
![{\displaystyle \cos(\theta )={\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\|y\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1dd1a1e50138eb1e2b69de1a452ea76e1d7082)
Orthogonaliteit
Twee reële of complexe vectoren
en
zijn orthogonaal, als hun inproduct gelijk is aan 0, dus als:
.
In het geval van reële vectoren betekent orthogonaliteit, dat
.
Eindigdimensionale vectorruimten
Voor een willekeurige n-dimensionale vectorruimte
over de reële getallen met een inproduct
kan het standaardinproduct gebruikt worden voor de berekening van het inproduct van twee vectoren
en
. Als lineaire combinatie van een orthonormale basis
van
zijn deze vectoren:
en ![{\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad159f6dd6b148ecc3c5f330299a7889a8bd4273)
Het inproduct van
en
is:
.
Dit kan dus berekend worden als het standaardinproduct van de vectoren van de coördinaten van
en
ten opzichte van de genoemde basis.