Stelling van Bachet-Bézout

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Etienne Bézout
Claude Gaspard Bachet de Méziriac

De stelling van Bachet-Bézout is een stelling uit de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde. De stelling houdt in dat als de grootste gemene deler is van twee gehele getallen en die ongelijk zijn aan 0, er dan gehele getallen en bestaan, zodat

De getallen en heten hier bézoutgetallen of bézoutcoëfficiënten. Bovendien is het kleinste (strikt) positief getal dat kan worden geschreven als .

Men kan de stelling van Bachet-Bézout ook als volgt formuleren: de lineaire vergelijking

heeft altijd een oplossing.

Geschiedenis[bewerken]

De stelling van Bachet-Bézout is mede vernoemd naar Étienne Bézout, die de stelling bewees voor polynomen. Maar de stelling was al eerder voor de gehele getallen geponeerd door de Franse wiskundige Claude Gaspard Bachet de Méziriac.[1]

Algoritme[bewerken]

De bézoutgetallen en (zie hierboven) kunnen worden bepaald met behulp van het uitgebreide algoritme van Euclides. Ze zijn echter niet uniek. Als het paar een oplossing is, dan zijn daaruit oneindig veel oplossingen te construeren. Deze worden namelijk gegeven door

Bewijs van de stelling[bewerken]

Het bewijs is constructief. Met het uitgebreide algoritme van Euclides kan voor elke en de ggd uitgedrukt worden als een gehele lineaire combinatie van resultaten die zelf weer gehele lineaire combinaties zijn van andere tussenresultaten. In een eindig aantal stappen laten die tussenresultaten zich uitdrukken als een gehele lineaire combinatie van en .

De lineaire diofantische vergelijking heeft dan en slechts dan een gehele oplossing als door de is te delen.

In het geval van de stelling is , dus is door de te delen, en heeft de vergelijking

een oplossing.

Stel nu dat er een is, dat voor zekere door het Algoritme van Euclides bepaalde gehele en gelijk is aan:

Dan moet een veelvoud van zijn en is

Voorbeeld[bewerken]

De grootste gemene deler van 63 en 105 is 21. De stelling Bachet-Bézout beweert dat er een geheeltallige oplossing moet bestaan voor en in de vergelijking

Een van de oplossingen is en inderdaad is

Andere oplossingen zijn en

Generalisatie[bewerken]

Algemeen zegt deze stelling dat er voor elk eindig aantal getallen gehele getallen zijn, zodat:

Dit kan met volledige inductie worden aangetoond.

Gevolgen[bewerken]

Deze stelling heeft enkele belangrijke gevolgen. Deze worden hier niet bewezen, maar ze volgen vrijwel allemaal rechtstreeks uit de stelling.

  1. De diofantische vergelijking in de variabelen en dus met gehele en heeft alleen dan oplossingen als de ggd van en een deler is van
  2. Iedere gemeenschappelijke deler van en is ook deler van de ggd van en
  3. Voor alle gehele geldt dat
  4. Voor alle en geldt dat een deler is van het product In het bijzonder geldt dus dat als en relatief priem zijn.
  5. Voor elke natuurlijke en gehele is er een zodat
  6. Voor alle en delers en van geldt dat ook een deler is van In het bijzonder geldt dat ieder getal dat tegelijk een veelvoud is van en ook een veelvoud is van Het kleinste gemene veelvoud van en is dus gelijk aan

Voetnoten[bewerken]

  1. Tignol, Jean-Pierre, Galois' Theory of Algebraic Equations (Galoistheorie van de algebraïsche vergelijkingen), World Scientific, Singapore, 2001. ISBN 981-02-4541-6.