Stellingen van Sylow

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, geven de stellingen van Sylow informatie over bepaalde deelgroepen van eindige groepen.

Neem een eindige groep $G$ en een priemgetal $p$. We noemen $p$-deelgroep van $G$ elke deelgroep van $G$ waarvan de orde een macht is van $p$. Een $p$-Sylow-deelgroep van $G$ is een $p$-deelgroep die maximaal is met die eigenschap, d.w.z. dat hij niet omvat wordt door een grotere $p$-deelgroep van $G$.

Als $p$ geen deler is van de orde van $G$, dan volgt uit de stelling van Lagrange dat $G$ geen echte $p$-deelgroep kan hebben.

Als $p$ wél de orde van $G$ deelt, dan geven de stellingen van Sylow informatie over de $p$-Sylow-deelgroepen van $G$.

De stellingen

Neem $G$ en $p$ zoals hierboven. Schrijf de orde van $G$ als een product $rp^{n}$ waarbij $n$ en $r$ natuurlijke getallen ($n$ positief) zijn en $p$ geen deler meer is van $r$.

• Bestaan: $G$ heeft een $p$-Sylow-deelgroep.
• Conjugatie: De $p$-Sylow-deelgroepen zijn precies elkaars geconjugeerden.
• Aantal: Het aantal $p$-Sylow-deelgroepen deelt $r$ en is congruent aan $1{\pmod {p}}$.

Opmerkingen bij de stellingen

• Er bestaan dus $p$-Sylow-deelgroepen en ze zijn alle isomorf. Hun orde is in dit geval $p^{n}$.
• Een $p$-Sylow-deelgroep is een normale deelgroep dan en slechts dan als het de enige $p$-Sylow-deelgroep is.
• De stelling van Cauchy geeft het bestaan van elementen met orde $p$. Het bestaan van $p$-Sylow-deelgroepen is een sterker resultaat.

Toepassingen

De stellingen kunnen worden gebruikt om informatie over de structuur van een eindige groep te verkrijgen. Bijvoorbeeld,

• Er bestaat precies een groep van orde 15, namelijk de cyclische groep van die orde. Dit kan als volgt worden nagegaan. Zij $G$ een groep van orde 15. Door de congruentie- en delingseigenschap kunnen we besluiten dat $G$ een unieke 3-Sylow deelgroep heeft. Analoog kunnen we besluiten dat $G$ een unieke 5-Sylow deelgroep bevat. Deze deelgroepen zijn dan normale deelgroepen. Omdat hun ordes relatief priem zijn, moet $G$ de directe som van deze cyclische groepen zijn. Dit beëindigt het bewijs.

• Een groep van orde $2\times 3^{4}$ is nooit enkelvoudig. Dit kan als volgt worden aangetoond. Een 3-Sylow-deelgroep is duidelijk een echte deelgroep. We tonen aan dat ze uniek is, en dus ook een (echte) normale deelgroep, wat het bewijs beëindigt. Het aantal 3-Sylow-deelgroepen $n^{3}$ is een deler van 2 en congruent aan 1 modulo 3. De enige oplossing voor dit stelsel is $n^{3}=1$.