Stellingen van Sylow

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, geven de stellingen van Sylow informatie over bepaalde deelgroepen van eindige groepen.

Neem een eindige groep G en een priemgetal p. We noemen p-deelgroep van G elke deelgroep van G waarvan de orde een macht is van p. Een p-Sylow-deelgroep van G is een p-deelgroep die maximaal is met die eigenschap, d.w.z. dat hij niet omvat wordt door een grotere p-deelgroep van G.

Als p geen deler is van de orde van G, dan volgt uit de stelling van Lagrange dat G geen echte p-deelgroep kan hebben.

Als p wél de orde van G deelt, dan geven de stellingen van Sylow informatie over de p-Sylow-deelgroepen van G.

De stellingen[bewerken]

Neem G en p zoals hierboven. Schrijf de orde van G als een product r pn waarbij n en r natuurlijke getallen (n positief) zijn en p geen deler meer is van r.

  • Bestaan: G heeft een p-Sylow-deelgroep.
  • Conjugatie: De p-Sylow-deelgroepen zijn precies elkaars geconjugeerden.
  • Aantal: Het aantal p-Sylow-deelgroepen deelt r en is congruent aan 1 modulo p.

Opmerkingen bij de stellingen[bewerken]

Toepassingen[bewerken]

De stellingen kunnen worden gebruikt om informatie over de structuur van een eindige groep te verkrijgen. Bijvoorbeeld,

  • Er bestaat precies een groep van orde 15, namelijk de cyclische groep van die orde. Dit kan als volgt worden nagegaan. Zij G een groep van orde 15. Door de congruentie- en delingseigenschap kunnen we besluiten dat G een unieke 3-Sylow deelgroep heeft. Analoog kunnen we besluiten dat G een unieke 5-Sylow deelgroep bevat. Deze deelgroepen zijn dan normale deelgroepen. Omdat hun ordes relatief priem zijn, moet G de directe som van deze cyclische groepen zijn. Dit beëindigt het bewijs.
  • Een groep van orde 2 * 34 is nooit enkelvoudig. Dit kan als volgt worden aangetoond. Een 3-Sylow-deelgroep is duidelijk een echte deelgroep. We tonen aan dat ze uniek is, en dus ook een (echte) normale deelgroep, wat het bewijs beëindigt. Het aantal 3-Sylow-deelgroepen n3 is een deler van 2 en congruent aan 1 modulo 3. De enige oplossing voor dit stelsel is n3 = 1.