Symmetrische bilineaire vorm

Een symmetrische bilineaire vorm is een bilineaire vorm $B$ op een vectorruimte $V$ met scalairenlichaam $K$ die symmetrisch is, dus met de eigenschap dat voor alle $x,y\in V$ geldt:

$B(x,y)=B(y,x)$

Bij de symmetrische bilineaire vorm $B$ hoort de kwadratische vorm

$Q(x)=B(x,x)$

Als de karakteristiek van $K$ verschilt van 2, is er een een-op-eenrelatie tussen de symmetrische bilineaire vormen en de kwadratische vormen, gegeven door:

$B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w))$

Als van de vectorruimte een basis $W$ is gegeven, wordt de symmetrische bilineaire vorm $B$ geheel bepaald door de beelden $B(w_{i},w_{j})$ van de combinaties van de basisvectoren. Er geldt immers:

$B(x,y)=B\left(\sum \xi _{i}w_{i},\sum \eta _{j}w_{j}\right)=\sum \xi _{i}\sum \eta _{j}B(w_{i},w_{j})$

Vanwege de symmetrie moet ook gelden:

$B(w_{i},w_{j})=B(w_{j},w_{i})$,

zodat $B$ bepaald wordt door een symmetrische functie $S:W\times W\to K$.

Symmetrische bilineaire spelen een rol in de studie van orthogonale polariteit en van kwadrieken.

Matrixvoorstelling

Bij een eindigdimensionale $V$ kan de bilineaire vorm $B$ met betrekking tot de basis $b_{1},\ldots ,b_{n}$ voorgesteld worden door de $n\times n$-matrix $M$ met elementen:

$M_{ij}=B(b_{i},b_{j})$

Vanwege de symmetrie van $B$ is $M$ een symmetrische matrix. De symmetrische bilineaire vorm heet ontaard als de symmetrische matrix een singuliere matrix is.

Met behulp van de matrix $M$ kan de bilineaire vorm $B$ geschreven worden als:

$B(x,y)=\xi M\eta \,'$,

waarin $\xi$ en $\eta$ de coördinatenrijen zijn van respectievelijk $x$ en $y$ ten opzichte van de basis $b_{1},\ldots ,b_{n}$.

Zie ook

• Inwendig product
• Metrische tensor

Externe link

• (en) Symmetrische bilineaire vorm op MathWorld