Tapijt van Sierpiński

Het tapijt van Sierpiński is een fractal die teruggaat op de Poolse wiskundige Wacław Sierpiński. Uit een vierkant wordt precies in het midden een kleiner vierkant verwijderd dat één-negende deel ervan beslaat. Dit wordt in elk van de overgebleven acht deelvierkanten herhaald en dat kan zo oneindig doorgaan. Het wordt in de onderstaande afbeelding vijf keer herhaald.

begin
stap 1
stap 2
stap 3
stap 4
stap 5

De hausdorff-dimensie van een tapijt van Sierpiński is

{\frac {\ln 8}{\ln 3}}\approx 1{,}8928

;

De oppervlakte van het tapijt van Sierpiński in de standaard Lebesgue-maat is nul.

De constructie lijkt veel op de constructie van een cantorverzameling, waar uit een lijnstuk het deel in het midden wordt verwijderd, of op de driehoek van Sierpiński, waar uit een gelijkzijdige driehoek het middendeel wordt verwijderd. De spons van Menger wordt op dezelfde manier gemaakt als het tapijt van Sierpiński, maar dan in drie dimensies.

Brownse beweging in een tapijt van Sierpiński

De brownse beweging op een tapijt van Sierpiński heeft de laatste jaren de aandacht getrokken. Martin Barlow en Richard Bass hebben aangetoond dat een toevalsbeweging op het tapijt van Sierpiński langzamer verstrooit dan een onbelemmerde toevalsbeweging in het vlak. Deze laatste bereikt een gemiddelde afstand die proportioneel is aan ${\sqrt {n\ }}$ na $n$ stappen, maar de toevalsbeweging op het discrete tapijt van Sierpiński bereikt alleen een gemiddelde afstand die proportioneel is aan $n^{1:\beta }$ voor een willekeurige $\beta >2$ .

Zij toonden ook aan dat de toevalsbeweging voldoet aan 'sterkere, grotere afwijkingen toestaande ongelijkheden', de zo genoemde sub-gaussiaanse ongelijkheden, en dat het voldoet aan de elliptische ongelijkheid van Harnack zonder te voldoen aan de parabolische ongelijkheid. Het bestaan van zo'n voorbeeld was vele jaren een open vraag.

Computerprogramma

Het volgende Java-applet toont een tapijt van Sierpiński met behulp van een recursieve methode:

import java.awt.*;
import java.applet.*;
 
public class SierpinskiCarpet extends Applet 
{
    private Graphics g = null;
    private int d0 = 729; // 3^6

    public void init() 
    {
        g = getGraphics();
        resize(d0, d0);
    }

    public void paint(Graphics g) 
    {
        // Rekursion starten:
        drawSierpinskiCarpet (0, 0, getWidth(), getHeight() );
    }

    private void drawSierpinskiCarpet(int xOL, int yOL, int breedte, int hoogte) 
    {
        if (breedte>2 && hoogte>2) 
        {
            int b = breedte/3;
            int h = hoogte/3;
            g.fillRect (xOL+b, yOL+h, b, h);
            for (int k=0; k<9; k++) if (k!=4) 
            {
                int i=k/3;
                int j=k%3;
                drawSierpinskiCarpet (xOL+i*b, yOL+j*h, b, h); // Recursie
            }
        }
    }
}

Mediabestanden die bij dit onderwerp horen, zijn te vinden op de pagina Sierpinski-Teppich op Wikimedia Commons.