Vandermonde-matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een Vandermonde-matrix, vernoemd naar de 18e-eeuwse Franse wiskundige Alexandre-Théophile Vandermonde, een matrix met als opgelegde voorwaarde dat elke rij in deze matrix uit een meetkundige rij moet bestaan, dat wil zeggen, een -matrix van de vorm:

of

voor alle indices en .[1] Sommige auteurs gebruiken de getransponeerde van de bovenstaande matrix.

Een Vandermonde-matrix wordt dus volledig bepaald door de getallen

Veeltermevaluatie[bewerken | brontekst bewerken]

De Vandermonde-matrix komt aan bod bij het evalueren van een polynoom

in een aantal punten .

Door de Vandermonde-matrix

te vermenigvuldigen met de vector

krijgt men de vector met de te berekenen waarden:

Als de punten de -de eenheidswortels zijn, komt dit neer op de berekening van de discrete fouriertransformatie van .

Interpolatie van een polynoom[bewerken | brontekst bewerken]

Nauw verwant met het vorige probleem is dat van de interpolatie van een polynoom: gegeven verschillende punten bepaal de polynoom van de graad die door de gegeven punten loopt; met andere woorden waarvoor geldt dat voor

Om de onbekende coëfficiënten te vinden moet men het volgende stelsel van lineaire vergelijkingen oplossen, geschreven in matrixnotatie:

.

De coëfficiëntenmatrix van dit stelsel is een Vandermonde-matrix. Een Vandermonde-matrix is echter slecht geconditioneerd, wat betekent dat er grote afwijkingen kunnen optreden in de berekende waarden bij kleine veranderingen in .

Determinant[bewerken | brontekst bewerken]

De determinant van een vierkante Vandermonde-matrix van de orde is:

Het aantal variabelen in deze determinant is .

Voor deze determinant geldt:

Het bewijs van deze stelling gaat met volledige inductie naar het aantal variabelen in de determinant.

Voor is de bewering juist.

Er wordt in het volgende gebruikgemaakt van de regels voor het vegen van een determinant.

Stel dat de bewering juist is voor zekere , dan geldt:

De tweede determinant ontstaat door in de eerste determinant maal de voorlaatste kolom van de laatste kolom af te trekken. Zo van achter naar voren voortgaand, ontstaat door steeds maal een kolom van de volgende kolom af te trekken:

Omdat op de eerste rij, behalve op de eerste plaats alleen maar 0 staat, volgt:

Uit elke rij kan een gemeenschappelijke factor worden gehaald:

De overblijvende determinant is een Vandermonde-determinant van de orde , die volgens de inductieveronderstelling de juiste vorm heeft.