Vandermonde-matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een Vandermonde-matrix, vernoemd naar de 18e-eeuwse Franse wiskundige Alexandre-Théophile Vandermonde, een matrix met als opgelegde voorwaarde dat elke rij in deze matrix uit een meetkundige rij moet bestaan, dat wil zeggen, een m×n-matrix van de vorm:

of

voor alle indices i en j.[1] Sommige auteurs gebruiken de getransponeerde van de bovenstaande matrix.

Een (vierkante) Vandermonde-matrix wordt dus volledig bepaald door de getallen (i = 1, 2, ... n).

Veeltermevaluatie[bewerken]

De Vandermonde-matrix komt aan bod bij het evalueren van een polynoom

in een aantal punten .

Door de Vandermonde-matrix

te vermenigvuldigen met de vector

verkrijgt men de vector met de te berekenen waarden:

Als de punten de n-de eenheidswortels zijn, komt dit neer op de berekening van de discrete fouriertransformatie van v.

Interpolatie van een polynoom[bewerken]

Nauw verwant met het vorige probleem is dat van de interpolatie van een polynoom: gegeven n + 1 verschillende punten , bepaal de polynoom p(x) van graad n die door de gegeven punten loopt, met andere woorden waarvoor geldt dat

Om de onbekende coëfficiënten te vinden moet men het volgende stelsel van lineaire vergelijkingen oplossen, geschreven in matrixnotatie:

De coëfficiëntenmatrix van dit stelsel is een Vandermonde-matrix. Een Vandermonde-matrix is echter slecht geconditioneerd, wat betekent dat er grote afwijkingen kunnen optreden in de berekende waarden bij kleine veranderingen in .

Determinant[bewerken]

De determinant van Vandermonde van de orde , is:

Het aantal variabelen in deze determinant is .

Voor deze determinant geldt:

Het bewijs van deze stelling gaat met volledige inductie naar het aantal variabelen in de determinant.

Voor is de bewering juist.

Stel dat de bewering juist is voor zekere ; dan geldt:

De tweede vorm ontstaat door van de laatste kolom maal de voorlaatste af te trekken. Omdat de determinant van een matrix gelijk is aan de determinant van de gespiegelde matrix, kunnen ook de kolommen geveegd worden. Zo voortgaand, van achter naar voren, steeds van een kolom maal de voorgaande kolom aftrekkend, ontstaat:

Omdat op de eerste rij, behalve op de eerste plaats alleen maar 0 staat, volgt:

Uit elke rij kan een gemeenschappelijke factor gehaald worden:

De overblijvende determinant is een Vandermonde-determinant van de orde , die volgens de inductieveronderstelling de juiste vorm heeft.


  1. (en) Roger A. Horn en Charles R. Johnson (1991),Topics in matrix analysis,, Cambridge University Press. Zie paragraaf 6.1