Voldoende (statistiek)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de statistiek zegt men dat een steekproeffunctie voldoende is voor een bepaalde familie kansverdelingen, als de steekproeffunctie alle informatie bevat over de kansverdeling waaruit de steekproef komt. De gehele steekproef geeft dus niet meer informatie, dan de voldoende steekproeffunctie. Het begrip werd ingevoerd door Fisher en houdt in het geval van een geparametriseerde familie kansverdelingen in, dat de voorwaardelijke verdeling van de steekproef, gegeven de waarde van de steekproeffunctie, niet afhangt van de parameter.

Voorbeeld[bewerken]

In het geval van een normale verdeling met bekende variantie is het steekproefgemiddelde voldoende voor de verwachtingswaarde. Zodra het gemiddelde in de steekproef bekend is, kan uit de steekproef geen verdere informatie over de verwachtingswaarde verkregen worden.

Definitie[bewerken]

Zij een familie kansverdelingen van de stochastische variabele , en een steekproef uit een van deze kansverdelingen. Een steekproeffunctie heet voldoende voor de familie, ook voldoende voor (de parameter) , als de voorwaardelijke verdeling van , gegeven , onafhankelijk is van .


Met behulp van de volgende factoriseringstelling van Fisher–Neyman laat het begrip 'voldoende steekproeffunctie' zich geschikt karakteriseren.

Factoriseringstelling[bewerken]

Een steekproeffunctie is dan en slechts dan voldoende voor de familie kansfuncties of kansdichtheden van , als er functies en bestaan zodanig, dat voor geldt:

wat wil zeggen dat het product is van een factor die niet afhangt van , en een tweede factor die wel van afhangt, maar alleen door van afhangt.

Voorbeelden[bewerken]

Bernoulli-verdeling[bewerken]

Als een aselect steekproef is uit een Bernoulli-verdeling met parameter , is de som een voldoende steekproeffunctie voor . Dit blijkt uit de factorisering:

Uniforme verdeling[bewerken]

Als een aselecte steekproef is uit de uniforme verdeling op het interval , is voldoende voor (het maximum van de steekproef is voldoende voor het maximum van de populatie). Dit blijkt weer uit de factorisering van de simultane dichtheid:

waarin 1 de indicatorfunctie is.

De factorisering heeft dus de gewenste vorm met h(x), en de rest afhankelijk van en van via .

Poissonverdeling[bewerken]

Als een aselecte steekproef is uit de Poissonverdeling met parameter , dan is de som een voldoende steekproeffunctie voor . Dit blijkt uit de factorisering:

met .