Galoisuitbreiding

In de wiskunde is een galoisuitbreiding van een lichaam $K$ een algebraïsche lichaamsuitbreiding $L/K$ die normaal en separabel is, of equivalent daarmee die waarbij het lichaam $K$ elementsgewijs invariant is onder de automorfismegroep $\mathrm {Aut} (L/K).$ Het belang van een galoisuitbreiding is dat de bijbehorende galoisgroep voldoet aan de fundamentele stelling van de Galois-theorie.

Karakterisering van galoisuitbreidingen

Een belangrijke stelling van Emil Artin stelt dat voor een eindige lichaamsuitbreiding $L/K$ elk van de volgende uitspraken inhoudt dat $L/K$ een galoisuitbreiding is.

• $L/K$ is een normale en separabele uitbreiding.
• $L$ is een splijtlichaam van een separabele polynoom met coëfficiënten in $K.$
• $|\mathrm {Aut} (L/K)|=[L:K]$, dat wil zeggen: het aantal automorfismen is gelijk aan de graad van de uitbreiding.

Andere gelijkwaardige uitspraken zijn:

• Elke irreducibele poynoom in de veeltermring $K[x]$ met ten minste één wortel in $L$ is reducibel over $L$ en separabel.
• $|\mathrm {Aut} (L/K)|\geq [L:K]$, dat wil zeggen dat het aantal automorfismen niet kleiner is dan de graad van de uitbreiding.
• $K$ is het elemensgewijs invariante lichaam van een ondergroep van $\mathrm {Aut} (L).$
• $K$ is het elemensgewijs invariante lichaam van $\mathrm {Aut} (L/K).$
• Er is een eenduidig verband tussen deellichamen van $L/K$ en subgroepen van $\mathrm {Aut} (L/K).$

Voorbeelden

Er zijn twee eenvoudige manieren om voorbeelden van galoisuitbreidingen te construeren.

• Neem een willekeurig lichaam $L$ en een ondergroep van $\mathrm {Aut} (L)$ waarvan $K$ het invariante lichaam is.
• Neem een willekeurig lichaam $K$, een separabele polynoom over $K$ en laat $L$ het splijtlichaam van de polynoom zijn.

De rationale getallen uitgebreid met het getal ${\sqrt {2}}$ vormen een galoisuitbreiding, terwijl ade uitbreifding met ${\sqrt[{3}]{2}}$ geen galoisuitbreiding is. Beide uitbreidingen zijn separabel omdat ze de karakteristiek 0 hebben. De eerste uitbreiding is het splijtlichaaam van de polynoom $x^{2}-2$. De tweede heeft een normale afsluiting die de complexe 3e-eenheidswortels bevat, en dus geen splijtlichaam is. Er is geen ander automorfisme dan de identiteit, omdat het zich in de reële getallen bevindt en $x^{3}-2$ slechts één reële wortel heeft.

Een algebraïsche afsluiting ${\bar {K}}$ van een willekeurig lichaam $K$ is dan en slechts dan een galoisuitbreiding van $K$ als $K$ perfect is.

Literatuur

• Artin, Emil (1998). Galois Theory, Geredigeerd en voorzien van een aanvullend hoofdstuk door Arthur N. Milgram. Dover Publications, Mineola, NY. ISBN 0-486-62342-4.
• Bewersdorff, Jörg (2006). Galois theory for beginners, Vertaald uit de 2e Duitse editie (2004) door David Kramer. American Mathematical Society. DOI:10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2.
• Edwards, Harold M. (1984). Galois Theory. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90980-X. (Oorspronkelijk artikel van Galois, met uitgebreide achtergrond en commentaar.)
• Funkhouser, H. Gray (1930). A short account of the history of symmetric functions of roots of equations. American Mathematical Monthly 37 (7): 357–365 (The American Mathematical Monthly). DOI: 10.2307/2299273.
• Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I, 2nd. W.H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9. (Hoodstuk 4 geeft een inleiding op de lichaamstheoretische benadering van galoistheorie.)
• Janelidze, G., Borceux, Francis (2001). Galois theories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0. (Dit boek introduceert de lezer in de galoistheorie van Grothendieck en geeft een aantal generalisaties.)
• Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory, Second. Springer-Verlag, Berlin, New York. DOI:10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN 978-0-387-94225-4.
• Postnikov, Mikhail Mikhaĭlovich (2004). Foundations of Galois Theory, Met een voorwoord van P. J. Hilton. Herdruk van de uitgave uit 1962. Vertaald uit het Russische origineel van 1960 door Ann Swinfen. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0.
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory, Second. Springer. DOI:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7.
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge University Press. DOI:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5.
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra. Springer, Berlin. . Engelse vertaling vande 2e herziene druk.:Modern algebra. Frederick Ungar, New York (1949). (Later heruitgegeven in het Engels bij Springer onder de titel "Algebra".)
• Pop, Florian, (Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic (2001).