Aliquotsom

In de getaltheorie is de aliquotsom van een natuurlijk getal de som van de echte delers van dat getal.

In formule:

$s(n)=\sum \nolimits _{d|n,\ d\neq n}d$

Hierin is $s(n)$ de aliquotsom van $n$ en betekent $d|n$ dat $d$ “deelbaar is op” (“een deler is van”) $n$.

Nb. Van elk natuurlijk getal $n$ is $1$ een (echte) deler.

Voorbeelden

• De echte delers van $18$ zijn $1,2,3,6,9$. Dan is:

$s(18)=1+2+3+6+9=21$

• De echte delers van $6$ zijn $1,2,3$. Dus:

$s(6)=1+2+3=6$

• Het getal $1$ heeft geen echte delers. Daarom is, per definitie: $s(1)=0$.

Opmerking

Indien de functie $s$ wordt gedefinieerd met behulp van de functie $\sigma$, waarbij $\sigma (n)$ de som is van alle delers van $n$, dus als:

$s(n)=\sigma (n)-n$

dan is (inderdaad) $s(1)=\sigma (1)-1=1-1=0$.

Waarden van de aliquotsom

Voor $n=1,2,3,\ldots ,25$ zijn de opvolgende waarden:

$0,1,1,3,1,6,1,7,4,8,1,16,1,10,9,15,1,21,1,22,11,14,1,36,6$

De functie s bij bijzondere getallen

• Als $n$ een priemgetal is, dan is $s(n)=1$.
• Als $n$ een perfect getal is, dan is $s(n)=n$.
• Als $n$ een overvloedig getal is, dan is $s(n)>n$.
• Als $n$ een gebrekkig getal is, dan is $s(n)<n$.
• Is $n$ een macht van $2$, dus $n=2^{k}$, dan is:

$s(n)=1+2+2^{2}+\ldots +2^{k-1}=2^{k}-1=n-1$

En deze eigenschap geldt dus voor elk bijna perfect getal.

Eigenschappen van de functie $\sigma$

Als $m,n$ natuurlijke getallen zijn die relatief priem zijn, dan is:

$\sigma (mn)=\sigma (m)\cdot \sigma (n)$

Bewijs

Elke deler $d$ van het getal $mn$ bestaat uit priemfactoren die in $m$ zitten en priemfactoren die in $n$ zitten. Omdat $m,n$ geen gemeenschappelijke delers hebben, is zo’n $d$ te schrijven als $d=d_{m}d_{n}$, waarbij $d_{m}|m,\ d_{n}|n$.
En omgekeerd, elke keuze van een deler $d_{m}$ van $m$ en deler $d_{n}$ van $n$ geeft weer een deler van $mn$, namelijk $d_{m}\cdot d_{n}$.
Het aantal delers van $mn$ is daarmee gelijk aan het aantal delers van $m$ maal het aantal delers van $n$. Dan is:

$\sigma (mn)=\sum \nolimits _{d\ |\ mn,\ d\neq mn}d=\sum \nolimits _{d_{m}|m,\ d_{n}|n}d_{m}d_{n}=\sum \nolimits _{d_{m}|m}d_{m}\,\cdot \,\sum \nolimits _{d_{n}|n}d_{n}=\sigma (m)\,\cdot \,\sigma (n)$

Als $n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\ldots p_{r}^{a_{r}}$ de priemontbinding is van het natuurlijke getal $n$, waarin $p_{1},p_{2},p_{3},\ldots ,p_{r}$ verschillende priemgetallen zijn (elk met $a_{i}$ als exponent), dan is:

$\sigma (n)=\prod \nolimits _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{a_{i}+1}-1}{p_{i}-1}}$

Gevolg

Is de priemontbinding van een getal $n$ bekend, dan kan $\sigma (n)$, en daarmee dus ook $s(n)$, worden berekend. Evenwel, het ontbinden van erg grote getallen in priemfactoren is niet zo eenvoudig.

Voorbeeld

Voor $n=24=2^{3}\cdot 3$ is:

$p_{1}=2,\ a_{1}=3,\ p_{2}=3,\ a_{2}=1$.

Zodat:

$\sigma (24)={\frac {2^{4}-1}{2-1}}\cdot {\frac {3^{2}-1}{3-1}}=15\cdot 4=60$

Dus is: $s(24)=60-24=36$.

Zie ook

• Aliquot
• Onaanraakbaar getal
• Hoofdstelling van de rekenkunde
• Rekenkundige functie
• Multiplicatieve functie

Aliquotrij

De functie $s$, toegepast op $n$, kan ook geïtereerd worden (herhaald worden toegepast). Hierdoor ontstaat de rij:

$n,s(n),s(s(n)),s(s(s(n))),...$

Deze rij wordt de aliquotrij van het getal $n$ genoemd.

Voorbeeld

Voor $n=15$ is:

$s(15)=1+3+5=9,\ s(9)=1+3=4,\ s(4)=1+2=3,\ s(3)=1,\ s(1)=0$

De aliquotrij van $15$ is dan: $15,9,4,3,1,0$.

Bronnen

• F. Beukers (1998): Getaltheorie. Utrecht: Epsilon Uitgaven; pp. 23-26, pp. 32-39.
• (fr) J.P. Delahaye (2002): Nombres aimables et suites aliquotes. In: Pour la science, no. 292; pp. 98-103.
• M. Looijen (2015): Over getallen gesproken. Zaltbommel: Van Haren Publishing (VHP), 2e druk (2016); pp. 112-113.

Noten