Energie-impuls-tensor

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
The components of the stress-energy tensor.

De energie-impuls-tensor is een grootheid in de fysica, die de dichtheid en flux van energie en impuls in ruimte en tijd weergeeft. Het is een veralgemening van de spanning uit de materiaalkunde. Het is een natuurlijk object in de relativiteitstheorie, waar energie en momentum op gelijke voet behandeld worden.

Definitie[bewerken]

(In de volgende vergelijkingen, wordt de Einstein-sommatieconventie gebruikt.) De energie-impuls-tensor is gedefinieerd als een tensor T^{\alpha \beta} met twee indices, waarvan de \alpha \beta -component overeenkomt met de αde component van impuls flux, doorheen een oppervlakte met constante xβ coördinaat. Voor relativiteitstheorie zijn de coördinaten vier getallen, de tijd en drie ruimtelijke dimensies, en worden samengevat in de positievector. Ook de impuls bestaat uit vier getallen, het viermomentum, waarvan de componenten ruwweg de energie en impuls zijn.

De energie-impuls-tensor heeft de eigenschap symmetrisch te zijn,

T^{\alpha \beta} = T^{\beta \alpha} \!.

hoewel men exotische situaties kan bedenken, waarin dit niet het geval is. In dat geval noemt men het antisymmetrische stuk de spintensor, gedefinieerd als:

\partial_{\alpha}S^{\mu\nu\alpha} = T^{\mu\nu} - T^{\nu\mu} \!.

Verder, als de Lagrangiaan \mathcal{L} van een theorie gekend is, kan men de energie-impuls-tensor definiëren als

T^{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\mathcal{L}\sqrt{-g}) }{\delta g_{\mu\nu}} = 2 \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta g_{\mu\nu}} + g^{\mu\nu} \mathcal{L}.

Hierbij is \mathcal{L} de Lagrangiaan van alleen de materie die in de theorie voorkomt, en dus niet de gravitationele bijdrage (Einstein-Hilbertterm) aan de totale Lagrangiaan.

Componenten van de energie-impuls-tensor[bewerken]

Als we numerieke voorfactoren c even buiten beschouwing laten, zijn de componenten van de energie-impuls-tensor als volgt te interpreteren:

  • De T^{00} -component is de totale energiedichtheid van de ruimte. Dit is dus de totale energie per volume-eenheid. Vaak wordt deze grootheid genoteerd met \rho \!.
  • De componenten T^{0i} (met i= 1, 2, 3) geven de energieflux, dat is dus de stroom van energie in de i-de richting.
  • De componenten  T^{ik} tot slot, geven de flux van i-impuls doorheen het oppervlak van constanten xk. Meer bepaald zijn de diagonale termen  T^{ik} de druk (vaak genoteerd met  p ), en de overige zes componenten geven de schuifspanning.

In de puntjes hierboven, en ook verder in het artikel, wordt verschillende malen gesproken over energie. Daarmee wordt telkens de totale energie bedoeld, namelijk zowel de rustmassa-energie als alle andere vormen van energie.

Voorkomen in natuurwetten[bewerken]

Behoudswetten[bewerken]

De stelling van Noether geeft een verband tussen symmetrieën van een systeem en behouden grootheden. Een gevolg van de translatie- en rotatie-invariantie van zowel speciale als algemene relativiteitsteorie, is het behoud van de energie-impuls-tensor. Meer precies geldt in speciale relativiteitstheorie dat:

0 = T^{\mu \nu}{}_{,\nu} = \partial_{\nu} T^{\mu \nu}. \!

In algemene relativiteitstheorie is dezelfde uitdrukking waar, mits men de partiële afgeleide vervangt door een covariante afgeleide:

0 = \nabla_{\nu} T^{\mu \nu}. \!

In algemene relativiteitstheorie[bewerken]

In algemene relativiteitstheorie is de energie-impuls-tensor de oorzaak voor het krommen van de ruimtetijd. Men noemt de energie- en impuls-dichtheid dus de bron voor een gekromde ruimte. Meer precies, de Einstein-vergelijkingen stellen dat

R_{\alpha \beta} - {1 \over 2}R\,g_{\alpha \beta} = {8 \pi G \over c^4} T_{\alpha \beta}.

De tensor links is de Einstein-tensor. Deze zegt in welke mate de ruimte verschil van de gewone vlakke ruimtetijd. De Einstein-vergelijkingen zeggen dus letterlijk dat de kromming van de ruimtetijd bepaald worden door de dichtheid en flux van energie en impuls, die bondig weergegeven worden met T_{\alpha \beta},.

Voorbeelden[bewerken]

Ideale vloeistof[bewerken]

Voor een vloeistof in thermodynamisch evenwicht, heeft de energie-impuls-tensor de vorm

T^{\alpha \beta} \, = (\rho + {p \over c^2})u^{\alpha}u^{\beta} + p g^{\alpha \beta}

waarin \rho de energiedichtheid is, en p de hydrostatische druk, en u^{\alpha} de viersnelheid. De tensor g^{\alpha \beta} tot slot, staat voor de inverse metriek.

Elektromagnetisme[bewerken]

De energie-impuls-tensor voor een elektromagnetisch veld (zonder ladingsdragers) is gegeven door

 T^{\mu \nu} (x) = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu \alpha} g_{\alpha \beta} F^{\nu \beta} - \frac{1}{4} g^{\mu \nu} F_{\delta \gamma} F^{\delta \gamma} \right)

waarbij  F_{\mu \nu} de elektromagnetische veldtensor voorstelt.

Scalair veld[bewerken]

De energie-impuls-tensor voor een scalair veld \phi dat aan de Klein-Gordonvergelijking voldoet, is gegeven door

T^{\mu\nu} = \frac{\hbar^2}{m} (g^{\mu \alpha} g^{\nu \beta} + g^{\mu \beta} g^{\nu \alpha} - g^{\mu\nu} g^{\alpha \beta}) \partial_{\alpha}\bar\phi \partial_{\beta}\phi - g^{\mu\nu} m c^2 \bar\phi \phi .

Zie ook[bewerken]