Klein-Gordonvergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Kwantummechanica
{\Delta x}\, {\Delta p} \ge \frac{\hbar}{2}
Onzekerheidsrelatie
Algemene inleiding...

Aan het begin van de negentiende eeuw werd duidelijk dat de klassieke mechanica niet toereikend was om het gedrag van het heel kleine te verklaren. Om bijvoorbeeld het gedrag van een elektron of het waterstofatoom te verklaren waren nieuwe vergelijkingen nodig. Vele natuurkundigen, onder wie Erwin Schrödinger, hielden zich hiermee bezig. Voordat hij de vergelijking vond die nu de schrödingervergelijking wordt genoemd, leidde hij de klein-gordonvergelijking af:

 (\square+\frac{m^2c^2}{\hbar^2})\psi = 0

waarin \square de d'Alembertiaan voorstelt, gegeven door de uitdrukking

\square = \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial ^2t} - \Delta

Daarin is:

Verder is

 \hbar = \frac{h}{2 \pi}

Met daarin h de constante van Planck.

Er deed zich echter een aantal problemen voor met deze vergelijking. Ten eerste is de golffunctie \psi niet positief-definiet (|\psi |^2>0), wat een interpretatie als kansdichtheid, zoals bij de schrödingervergelijking, onmogelijk maakt. Verder blijken sommige oplossingen van de vergelijking een negatieve energie te hebben, wat tot instabiliteiten leidt.

Merk op dat voor massaloze deeltjes (m=0) de vergelijking overgaat in de golfvergelijking, waarmee bijvoorbeeld licht beschreven wordt.

Schrödinger was op zoek naar een vergelijking om het gedrag van het elektron mee te beschrijven. Maar de klein-gordonvergelijking neemt de spin van een deeltje niet in beschouwing en kan dus een aantal belangrijke eigenschappen van het elektron niet verklaren. Voor lage energie leidde Schrödinger uit de klein-gordonvergelijking de vergelijking af die nu zijn naam draagt.

Hoewel Schrödinger dus de eerste was die de vergelijking vond, heeft hij haar nooit gepubliceerd en waren het Oscar Klein en Walter Gordon die de vergelijking naar zich vernoemd kregen. Ze kregen deze erkenning echter pas een kwart eeuw nadat Klein de vergelijking in 1926 publiceerde.

Afleiding[bewerken]

Sinds het werk van De Broglie was bekend dat materie golfeigenschappen bezit. De relatie tussen de impuls en de golflengte (\lambda) of het golfgetal (k=2\pi /\lambda ) is als volgt:

p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k .

De relatie tussen de energie en de frequentie werd al eerder gevonden door Max Planck:

E=h \nu = \hbar \omega .

Voor een vlakke golf

\!\psi = e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)}

worden dus de impuls en energie gevonden met behulp van de volgende operatoren:

 \hat{p}=\frac{\hbar}{i} \nabla en  \hat{E}=-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}.

Dit zijn dezelfde operatoren die ook gebruikt kunnen worden om de schrödingervergelijking af te leiden. Echter, in plaats van deze operatoren te substitueren in de klassieke Hamiltoniaan

 H=\frac{p^2}{2m}+V

gebruiken we nu de relativistische relatie tussen energie en impuls

\!E^2 = m^2c^4 + p^2c^2

welke waarschijnlijk beter bekend is voor een stilstaand object, waarbij p = 0 en E = mc2.


Wanneer we hierin de gevonden operatoren substitueren en vermenigvuldigen met \psi krijgen we

\hbar ^2 \frac{\partial ^2 \psi}{\partial t^2} = m^2c^4 \psi -\hbar^2 c^2 \nabla ^2 \psi

wat met de definitie van de d'Alembertiaan de klein-gordonvergelijking oplevert.

Oplossingen[bewerken]

Relativistisch vrij deeltje[bewerken]

Zoals gebruikt in de afleiding is een mogelijke oplossing van de klein-gordonvergelijking een vlakke golf

\!\psi = e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)}

waarbij na substitutie in de klein-gordonvergelijking volgt:

(\frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} -\nabla ^2 +\frac{m^2c^2}{\hbar ^2} ) e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)} = 0
(-\frac{\omega ^2}{c^2} +k^2 +\frac{m^2c^2}{\hbar ^2})e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)} =0
\hbar ^2 \omega ^2 =m^2 c^4 + \hbar ^2 k^2 c^2


wat met E=\hbar \omega en  p= \hbar k de bekende relativistische relatie tussen energie en impuls oplevert:

\!E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2

Dit resultaat laat zien dat een vlakke golf een oplossing is van de klein-gordonvergelijking en dat de relatie tussen energie en impuls die van een relativistisch deeltje is.

Zoals eerder opgemerkt zijn zowel oplossingen met positieve als negatieve energie mogelijk, wat komt door het kwadraat in bovenstaande uitdrukking voor de energie

E=\pm \sqrt{m^2 c^4 + p^2 c^2}

Yukawa-potentiaal[bewerken]

Voor stationaire oplossingen verdwijnt de tijdsafgeleide in de d'Alembertiaan zodat

 (-\Delta+\frac{m^2c^2}{\hbar ^2}) \psi=0

Wanneer  \psi slechts afhangt van een radiale coördinaat r wordt de Laplaciaan

 \Delta \psi = \frac{1}{r} \frac{\partial ^2 r \psi}{\partial r^2}

zodat de klein-gordonvergelijking wordt:

\frac{m^2c^2}{\hbar ^2}\psi-\frac{1}{r} \frac{\partial ^2 r \psi}{\partial r^2}=0

met als oplossing

 r \psi = C e^{\pm \frac{mc}{\hbar} r} \rightarrow \psi = C \frac{e^{-r/r'}}{r} met  r'=\frac{\hbar}{mc}

Hideki Yukawa gebruikte in 1934 deze uitdrukking in een poging de kracht tussen deeltjes in een atoomkern te verklaren. Deze yukawa-potentiaal komt (voor relatief grote afstand) goed overeen met de experimenteel gevonden interactie.

Tachyonen[bewerken]

Tachyonen komen onder andere in sommige versies van snarentheorie voor als deeltjes die sneller bewegen dan het licht. Tachyonen met een reële energie moeten volgens de relativistische relatie

\!E=\gamma mc^2

een imaginaire massa hebben, aangezien \!\gamma = (1-(v/c)^2)^{-1/2} voor v > c imaginair is.

Voor een homogeen tachyonveld \! \psi (t) verdwijnt de Laplaciaan in de klein-gordonvergelijking:

 \frac{d^2 \psi (t)}{dt^2} +\frac{m^2 c^4}{\hbar ^2} \psi (t)

Voor m² > 0 zijn de oplossingen harmonisch oscillerende functies. Echter voor een tachyon met imaginaire massa is m² < 0 zodat de oplossingen exponentiële functies worden.

 \psi (t) = A \, \textrm{exp}(\frac{|m|c^2 t}{\hbar})+ B \, \textrm{exp}(-\frac{|m|c^2 t}{\hbar})

Dit betekent dat het tachyonveld in de tijd onbegrensd toeneemt. Dit is niet wat wordt waargenomen en dit vormt dan ook een van de grote problemen van de snaartheorie.