Gebruiker:Patrick/Strookpatroongroepen en de zeven reeksen

De zeven strookpatroongroepen corresponderen met de zeven reeksen van symmetriegroepen in 3D met bij de laatste rotatie in plaats van translatie, en zijn min of meer te beschouwen als het geval n = ∞, de notatie is daar ook op gebaseerd.

In de beschrijving en de blauwe afbeeldingen wordt uitgegaan van een horizontale translatievector bij de strookpatroongroep, en met een verticale rotatie-as bij de 7 reeksen.

Correspondentie:

een oneindige herhaling van steeds $n$ translaties waarbij je eventueel $2n$ spiegellijnen en/of $2n$ rotatiepunten passeert - een rondgang waarbij je $n$ spiegelvlakken en/of $n$ rotatie-assen elk tweemaal passeert
translatie - rotatie om verticale as
spiegeling in een horizontale lijn - spiegeling in een horizontaal vlak
glijspiegeling - draaispiegeling
spiegeling in een verticale lijn - spiegeling in een verticaal vlak
rotatie om een punt - rotatie om een horizontale as

Voor het vergelijken kunnen voor de zeven reeksen, symmetrieën van een verticale, korte cilinder beschouwd worden, zoals in de middelste afbeeldingen. De platgemaakte cilindermantel is dan een strook met een lengte die correspondeert met $n$ maal de translatie-afstand bij de strookpatroongroepen. Er kan voor het vergelijken zelfs $n=1$ genomen worden. Er is geen rotatiesymmetrie nodig om de verticale as, het na een rondgang op hetzelfde uitkomen correspondeert met de translatiesymmetrie. Het onderscheid tussen horizontaal en verticaal is in deze context relevant, dus ook dat tussen $C_{1h}$ en $C_{1v}$ .

Dit geeft het lijstje $C_{1}$ , $C_{i}$ , $C_{1h}$ , $C_{1v}$ , $D_{1}$ , $D_{1v}$ , $D_{1d}$ . De orde van deze groepen is 1, 2 of 4.

In een isometriegroep met geen andere translaties dan veelvouden van een bepaalde translatievector is de groep van deze translaties een normaaldeler. Afhankelijk van de strookpatroongroep waaronder deze isometriegroep valt, zijn er 1, 2 of 4 equivalentieklassen, en is dus de factorgroep van orde 1, 2 of 4, overeenkomstig de orde van de eerdergenoemde groepen.

Korte aanduidingen zijn, naar de symmetrie van deze tekens, F, bp, B, A, S, H en ~.

Factorgroep van orde 1[bewerken | brontekst bewerken]

Bij C_∞ is er geen specifieke basislijn, de symmetrie wordt geheel bepaald door de translatievector. Een fundamenteel domein is een oneindige strook, niet noodzakelijk verticaal. Bij C_n in 3D is er een verticale rotatie-as. Een fundamenteel domein is de ruimte tussen twee halfvlakken vanuit de as, die een hoek van 360°/n met elkaar maken.

Voorbeeld: een ronde plaat met op één zijde een figuur met rotatiesymmetrie van orde $n$ ; het draaiende deel van een windturbine / propeller / scheepsschroef / ventilator e.d. met n bladen heeft ook vaak deze symmetrie (geen extra symmetrie).

Factorgroep van orde 2[bewerken | brontekst bewerken]

Bij S_∞ is er een glijspiegeling met een horizontale spiegellijn, en een halve translatie-afstand. Een fundamenteel domein is een oneindige verticale strook vanaf de spiegellijn, met een breedte van een halve translatie-afstand, of de bovenhelft daarvan, maar dan tweemaal zo breed.

Bij $S_{2n}$ is er een draaispiegeling over een hoek van 180°/n om de verticale as, met een horizontaal spiegelvlak. Een fundamenteel domein is een sector tussen twee halfvlakken vanuit de as, die een hoek van 180°/n met elkaar maken (zie afbeelding) of de bovenhelft daarvan, maar dan tweemaal zo breed.

Voorbeeld: een ronde plaat met op één zijde een figuur met rotatiesymmetrie van orde $n$ en op de andere zijde, gezien vanaf dezelfde zijde dezelfde figuur maar dan $180^{\circ }/n$ gedraaid.

De groep is cyclisch en wordt voortgebracht door een draaispiegeling. Voor oneven $n$ geldt $S_{2n}=C_{n}\oplus C_{i}$ .

De notatie $S_{2n}$ betekent niet dat als speciaal geval een even subscript wordt genomen: $S_{n}$ met oneven $n$ bestaat bij de hier gebruikte notatieconventie niet.

Bij C_∞h is er een horizontale spiegellijn. Een fundamenteel domein is weer een halfoneindige strook vanaf de spiegellijn, die een hoek (niet noodzakelijk een loodrechte) maakt met deze lijn.

Bij $C_{nh}$ is er een horizontaal spiegelvlak. Een fundamenteel domein is de ruimte begrensd door het spiegelvlak en twee halfvlakken vanuit de as, die een hoek van 360°/n met elkaar maken.

Voorbeeld: een ronde plaat met door en door een figuur met rotatiesymmetrie van orde $n$ ;^[1]

$C_{nh}=C_{n}\oplus C_{1h}$ ; voor even $n$ geldt ook $C_{nh}=C_{n}\oplus C_{i}$

Bij C_∞v is er geen specifieke basislijn, de symmetrie wordt geheel bepaald door twee verticale spiegellijnen per translatie-afstand. Een fundamenteel domein is een oneindige strook tussen twee opeenvolgende spiegellijnen. Bij $C_{nh}$ zijn er n spiegelvlakken door de as, waarvan opeenvolgende een hoek van 180°/n met elkaar maken. Een fundamenteel domein is de ruimte begrensd door twee opeenvolgende spiegelvlakken.

Voorbeeld: een ronde plaat met op één zijde een figuur met symmetrie $D_{n}$ ; een regelmatige piramide (orde als voor de figuur / het grondvlak; er is geen extra symmetrie).

Bij D_∞ zijn er per translatie-afstand twee rotatiepunten. Een fundamenteel domein is een oneindige strook tussen twee opeenvolgende rotatiepunten, die een hoek (niet noodzakelijk een loodrechte) maakt met de horizontale translatierichting, of een tweemaal zo brede aan één zijde van de horizontale as. Bij $D_{n}$ in 3D zijn er naast een verticale rotatie-as ook n horizontale, waarvan opeenvolgende een hoek van 180°/n met elkaar maken. Een fundamenteel domein is een sector tussen twee opeenvolgende horizontale rotatie-assen (zie afbeelding), of de bovenhelft daarvan, maar dan tweemaal zo breed.

Voorbeeld: een ronde plaat met op beide zijden dezelfde figuur met rotatiesymmetrie van orde $n$ . Na het aanbrengen van de figuur op de ene kant kan de figuur op de andere kant in een willekeurige stand worden aangebracht voor het bereiken van $D_{n}$ -symmetrie. Wel kan een keuze gemaakt worden in welke stand de $n$ horizontale symmetrie-assen zullen staan ten opzichte van de figuur.

Factorgroep van orde 4[bewerken | brontekst bewerken]

Bij D_∞h is er een horizontale spiegellijn en zijn er per translatie-afstand twee verticale spiegellijnen. Het fundamenteel domein is een halfoneindige strook tussen twee spiegelhalfrechten en een spiegellijnstuk. Bij $D_{nh}$ zijn er n spiegelvlakken door de as, waarvan opeenvolgende een hoek van 180°/n met elkaar maken. Een fundamenteel domein is de ruimte begrensd door twee opeenvolgende spiegelhalfvlakken en het horizontale spiegelvlak.

Voorbeeld: een ronde plaat met door en door een figuur met symmetrie $D_{n}$ ; een regelmatig prisma; een regelmatige bipiramide. $D_{nh}=C_{nv}\oplus C_{i}$ (orde $4n$ ). Voor even $n$ geldt ook $D_{nh}=D_{n}\oplus C_{i}$ .

Bij D_∞d is er een glijspiegeling met een horizontale spiegellijn en een halve translatie-afstand, en zijn er per translatie-afstand twee verticale spiegellijnen en twee rotatiepunten (een tussen elke twee opvolgende). Het fundamenteel domein is een oneindige strook tussen een spiegellijn en een verticale lijn door een nabij rotatiepunt, of een tweemaal zo brede strook aan een zijde van de horizontale spiegellijn. Bij $D_{nd}$ zijn er n spiegelvlakken door de verticale as, waarvan opeenvolgende een hoek van 180°/n met elkaar maken, en daartussen n horizontale assen. Een fundamenteel domein is de ruimte begrensd door zo'n verticaal spiegelhalfvlak en een vlak door de verticale rotatie-as en een nabije horizontale, of door twee opeenvolgende verticale spiegelhalfvlakken en het horizontale vlak (zie afbeelding).

Voorbeeld: een ronde plaat met op één zijde een figuur met symmetrie $D_{n}$ en op de andere zijde dezelfde figuur maar dan $180^{\circ }/n$ gedraaid; een regelmatig antiprisma.

Voor oneven $n$ geldt $D_{nd}=D_{n}\oplus C_{i}$ .

Constructie van de groepen[bewerken | brontekst bewerken]

Isometrieën in de driedimensionale euclidische ruimte met de oorsprong als dekpunt komen overeen met die op een cilinder of bol. Bij objecten beschreven in cilindercoördinaten, $f(\rho ,\theta ,z)$ , of bolcoördinaten, $f(r,\theta ,\varphi )$ , vervalt dan de coördinaat $\rho$ of $r$ , zodat overblijft $f(\theta ,z)$ of $f(\theta ,\varphi )$ . Bij de zeven reeksen isometrieën verandert bovendien de grootte van $z$ of $\varphi$ niet, maar alleen eventueel het teken. Hieronder wordt $(\theta ,z)$ gebruikt.

Bij de zeven reeksen zijn er de volgende isometrieën.

$C_{n}(\theta ,z)=({\frac {2\pi }{n}}+\theta ,z)$ , rotatie over een hoek ${\frac {2\pi }{n}}$ rond de verticale as.
$\sigma _{h}(\theta ,z)=(\theta ,-z)$ , spiegeling in het horizontale vlak $z=0$ .
$\sigma _{v,\alpha }(\theta ,z)=(2\alpha -\theta ,z$ ), spiegeling in het verticale vlak $\theta =\alpha$ .
$\sigma _{h}\sigma _{v,\alpha }=\sigma _{v,\alpha }\sigma _{h}$ $\sigma _{h}\sigma _{v,\alpha }=\sigma _{v,\alpha }\sigma _{h}$ , rotatie om de as $\theta =\alpha$ $\theta =\alpha$ , $z=0$ $z=0$ :
- $\sigma _{h}\sigma _{v,\alpha }(\theta ,z)=\sigma _{v,\alpha }\sigma _{h}(\theta ,z)=(2\alpha -\theta ,-z)$ .
$\sigma _{h}\sigma _{v,{\frac {\pi }{n}}}=\sigma _{v,{\frac {\pi }{n}}}\sigma _{h}=C_{n}\sigma _{v,0}\sigma _{h}$ $\sigma _{h}\sigma _{v,{\frac {\pi }{n}}}=\sigma _{v,{\frac {\pi }{n}}}\sigma _{h}=C_{n}\sigma _{v,0}\sigma _{h}$ , rotatie om de as $\theta ={\frac {\pi }{n}}$ $\theta ={\frac {\pi }{n}}$ , $z=0$ $z=0$ :
- $C_{n}\sigma _{v,0}\sigma _{h}(\theta ,z)=({\frac {2\pi }{n}}-\theta ,-z)$ .
$C_{n}\sigma _{h}=\sigma _{h}C_{n}$ $C_{n}\sigma _{h}=\sigma _{h}C_{n}$ (draaispiegeling):
- $C_{n}\sigma _{h}(\theta ,z)=\sigma _{h}C_{n}(\theta ,z)=({\frac {2\pi }{n}}+\theta ,-z)$ .

Merk op dat $C_{n}\sigma _{v,\alpha }$ niet gelijk is aan $\sigma _{v,\alpha }C_{n}$ :

$C_{n}\sigma _{v,\alpha }(\theta ,z)=(2\alpha +{\frac {2\pi }{n}}-\theta ,z)$ .
$\sigma _{v,\alpha }C_{n}(\theta ,z)=(2\alpha -({\frac {2\pi }{n}}+\theta ),z)=(2\alpha -{\frac {2\pi }{n}}-\theta ,z)$ .

Vanaf hier is $n$ vast en gaat het om objecten $f$ met $C_{n}f=f$ . Daarbij geldt aanvullend het volgende.

Voor verticale spiegelvlakken en voor horizontale rotatie-assen is er een gehalveerde periode:
- $\sigma _{v,\alpha }f=\sigma _{v,\alpha +{\frac {\pi }{n}}}f$ .
- $\sigma _{h}\sigma _{v,\alpha }f=\sigma _{h}\sigma _{v,\alpha +{\frac {\pi }{n}}}f$
$\sigma _{v,\alpha }C_{2n}f=C_{2n}\sigma _{v,\alpha }f$ $\sigma _{v,\alpha }C_{2n}f=C_{2n}\sigma _{v,\alpha }f$ :
- $(C_{2n}\sigma _{v,\alpha }f)(\theta ,z)=f(2\alpha +{\frac {\pi }{n}}-\theta ,z)$ .
- $(\sigma _{v,\alpha }C_{2n}f)(\theta ,z)=f(2\alpha -{\frac {\pi }{n}}-\theta ),z)=f(2\alpha +{\frac {\pi }{n}}-\theta ,z)$ .

C_n wordt voortgebracht door een element dat ook C_n genoemd wordt, en correspondeert met een rotatie over een hoek 2π/n rond de verticale as. De elementen zijn, kort geformuleerd, C_n^k (de identiteit en $n-1$ rotaties om de verticale as.

De groepen bevatten de volgende isometrieën (eerst per sector, dan in totaal):

C_n, geen extra symmetrie.
S_2n, met draaispiegeling $C_{2n}\sigma _{h}f$ ( $n$ draaispiegelingen).
C_nh, met spiegeling σ_h (1 spiegeling en $n-1$ draaispiegelingen).
C_nv, met spiegeling $\sigma _{v,\alpha }$ in een vlak door de verticale as ( $n$ maal).
D_n, met 180° rotatie $\sigma _{h}\sigma _{v,\alpha }$ om een horizontale as bij $\alpha$ die de verticale as snijdt ( $n$ maal).
D_nh, met $\sigma _{h}$ , $\sigma _{v,\alpha }$ en $\sigma _{h}\sigma _{v,\alpha }$ (1 spiegeling in het horizontale vlak, $n-1$ draaispiegelingen, $n$ spiegelingen in verticale vlakken, en $n$ rotaties om een horizontale as waar spiegelvlakken elkaar snijden).
D_nd, met $\sigma _{v,\alpha }$ , $C_{2n}\sigma _{h}$ en $C_{2n}\sigma _{h}\sigma _{v,\alpha }$ , een verticaal spiegelvlak bij $\alpha$ en rotatie om een horizontale as bij $\alpha +{\frac {\pi }{2n}}$ ( $n$ draaispiegelingen, $n$ spiegelingen in verticale vlakken, en $n$ rotaties om een horizontale as tussen twee verticale spiegelvlakken). Gegeven de draaispiegeling brengen verticale spiegelvlakken tussenliggende rotatie-assen met zich mee en omgekeerd.

Vijf groepen worden dus voortgebracht door C_n en nul, een of twee van de elementen σ_h, σ_v en σ_hσ_v. Bij twee maakt niet uit welke twee, want elk tweetal brengt de derde voort. Bij de resterende twee groepen is er een niet-triviale draaispiegeling met eventuele extra symmetrie, maar niet zodanig dat de orde van de rotatiesymmetrie om de verticale as wordt vergroot, want dan valt de resulterende symmetrie onder een hogere waarde van n.

Abstracte structuur[bewerken | brontekst bewerken]

C_∞ en S_∞ hebben de abstracte structuur van de groep Z.

C_∞v, D_∞ en D_∞d hebben de abstracte structuur van de oneindige dihedrale groep Dih_∞.

C_∞h heeft de abstracte structuur van Dih_∞ Z₂.

D_∞h heeft de abstracte structuur van Dih_∞ Z₂.

Bronnen, noten en/of referenties

↑ Een alternatief voor "een ronde plaat met door en door een figuur met rotatiesymmetrie van orde $n$ " is "een 2D-figuur met rotatiesymmetrie van orde $n$ , in de driedimensionale ruimte".

[1] Een alternatief voor "een ronde plaat met door en door een figuur met rotatiesymmetrie van orde $n$ " is "een 2D-figuur met rotatiesymmetrie van orde $n$ , in de driedimensionale ruimte".

[1]