Antiprisma

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een zeventienhoekig antiprisma.

In de meetkunde is een n-zijdig antiprisma een ruimtelijk veelvlak dat wordt gevormd door een onder- en een bovenvlak van twee evenwijdige copieën van een n-zijdige veelhoek, verbonden door een band van alternerende driehoeken. Boven- en ondervlak zijn daarbij in het algemeen ten opzichte van elkaar verschoven en gedraaid.

Antiprisma's zijn verwant met gewone prisma's, met als verschil dat bij een prisma boven- en ondervlak niet ten opzichte van elkaar gedraaid zijn en verbonden worden door parallellogrammen.

Een antiprisma heet regelmatig als de veelhoek die onder- en bovenzijde vormt, een regelmatige veelhoek is. Extra regelmaat ontstaat als onder- en bovenvlak ten opzichte van elkaar over de halve hoek van de veelhoek gedraaid zijn, dus over 180°/n.

Een (extra) regelmatig antiprisma wordt nog recht genoemd, als de middelpunten van onder- en bovenvlak loodrecht boven elkaar liggen ten opzichte van onder- en bovenvlak. De zijkant van een recht antiprisma bestaat uit een band van gelijkbenige driehoeken.

Een recht antiprisma heet uniform, als de zijkant bestaat uit een band van gelijkzijdige driehoeken.

Formules[bewerken]

R _0=  \tfrac 12 \sqrt{ h^2+a^2 \csc^2\left(\frac{\pi}{n}\right) }
  • De oppervlakte A van een recht n-zijdig antiprisma met zijde a en hoogte h is samengesteld uit de oppervlakten A_0 van onder- en bovenvlak en de 2n oppervlakten A_zvan de gelijkbenige driehoeken van de zijkant. Er geldt:
A_0=\tfrac 14 n a^2\cot\left(\tfrac {\pi}{n} \right)
en
A_z = \tfrac 14 a^2\sqrt{ \left(\frac {2h}a\right)^2 + \tan^2\left( \frac{\pi}{2n}\right)  },
zodat A gegeven wordt door de formule:
A = \tfrac 12 n a^2\left(\cot\left(\frac{\pi}{n}\right) + \sqrt{\left(\frac {2h}{a}\right)^2 + \tan^2\left(\frac{\pi}{2n}\right)} \right)
  • Als het antiprisma uniform is, is:
\frac ha =\sqrt{1-\tfrac 14\sec^2\left(\frac{\pi}{2n} \right)}
en
A_z = \tfrac 14 a^2\sqrt{3},
zodat
A = \tfrac 12 n a^2\left(\cot\left(\frac{\pi}{n}\right) +\sqrt{3} \right)
  • De inhoud V van een uniform n-zijdig antiprisma met zijde a wordt gegeven door:
V = \frac{n}{12} a^3 
\left( \cot\left( \frac{\pi}{2n} \right) +\cot\left( \frac{\pi}{n} \right) \right) 
\sqrt{ 1-\tfrac 14 \sec^2\left( \frac{\pi}{2n} \right) }

Externe link[bewerken]