Gebruiker:Patrick/veelvlak

Transitiviteit

H

Een veelvlak is hoekpunttransitief of isogonaal als er voor elk tweetal hoekpunten $P$, $Q$ van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij $P$ op $Q$ afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat in alle hoekpunten dezelfde soorten zijvlakken bij elkaar komen, in dezelfde of omgekeerde cyclische volgorde, en ook dat alle hoekpunten op een bol liggen.

R

Een veelvlak is ribbetransitief of isotoxaal als er voor elk tweetal ribben $R$, $S$ van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij $R$ op $S$ afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat alle ribben even lang zijn en dat dezelfde twee soorten zijvlakken er bij elkaar komen.

Z

Een veelvlak is zijvlaktransitief of isohedraal als er voor elk tweetal zijvlakken $V$, $W$ van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij $V$ op $W$ afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat alle zijvlakken congruent zijn.

r

regelmatige veelhoeken

Uniforme veelvlakken

Hr Een veelvlak heet uniform als het uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak heeft, en hoekpunttransitief is. De hoekpuntconfiguratie is dan voor elk hoekpunt hetzelfde, en wordt dan de hoekpuntconfiguratie van het uniforme veelvlak genoemd. Er is bij een gegeven hoekpuntconfiguratie niet meer dan één uniform veelvlak, behalve dat van de archimedische lichamen 3.3.3.3.4 en 3.3.3.3.5 elk twee chirale vormen bestaan, die elkaars spiegelbeeld zijn.

De uniforme veelvlakken worden als volgt ingedeeld:

• Uniforme veelvlakken die niet zelfdoorsnijdend of samengesteld zijn, en uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak hebben.
  • HRZr De vijf platonische lichamen, dit zijn de niet-zelfdoorsnijdende niet-samengestelde veelvlakken waarbij alle zijvlakken dezelfde regelmatige veelhoek zijn. Ze zijn naast hoekpunttransitief ook zijvlaktransitief, ribbetransitief en convex. Het zijn het regelmatige viervlak (3.3.3), de kubus (4.4.4), de octaëder (3.3.3.3), de dodecaëder (5.5.5) en de icosaëder (3.3.3.3.3).
  • Hr De halfregelmatige veelvlakken, dit zijn de overige niet-zelfdoorsnijdende niet-samengestelde hoekpunttransitieve veelvlakken met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak. Ze zijn symmetrisch en convex.
    • Hr Een oneindige reeks prisma's $n$.4.4, $n$ = 3, 5, 6, 7, .. ($n$ = 4 past in de reeks, maar is een regelmatig veelvlak). Ze hebben dus twee soorten zijvlakken.
    • Hr Een oneindige reeks antiprisma's $n$.3.3.3, $n$ = 4, 5, 6, 7, .. ($n$ = 3 past in de reeks, maar is een regelmatig veelvlak). Ze hebben dus twee soorten zijvlakken.
    • Hr/HRr De 15 archimedische lichamen of veelvlakken, 13 als spiegelbeelden niet apart meetellen. Ze hebben twee of drie soorten zijvlakken. Het aantal hoekpunten per zijvlak kan zijn 3, 4, 5, 6, 8 en 10. De kuboctaëder (3.4.3.4) en de icosidodecaëder (3.5.3.5) zijn quasiregelmatig, dat wil zeggen dat ze ook ribbetransitief zijn.

Overige veelvlakken die niet zelfdoorsnijdend of samengesteld zijn, met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak:

• r De 92 johnsonlichamen, dit zijn de overige convexe veelvlakken waarvan de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn. Het aantal hoekpunten per zijvlak kan ook hierbij zijn 3, 4, 5, 6, 8 en 10.
• r Niet-convexe veelvlakken waarvan de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn, zoals een kubus met aan elk zijvlak eenzelfde kubus toegevoegd.

Andere veelvlakken

Onder andere:

• Z Catalanlichamen zijn de duale veelvlakken van de archimedische lichamen, maar hun zijvlakken zijn geen regelmatige veelhoeken. Ze zijn convex en zijvlaktransitief, maar niet hoekpunttransitief.
  • RZ De rombische dodecaëder (3.4.3.4) en de icosidodecaëder (3.5.3.5) zijn ook ribbetransitief.
• De hoekpunten van een regelmatig veelvlak of archimedisch lichaam $A$ liggen op een bol $B$. Er kan uitgaande van $A$ een nieuw veelvlak worden gemaakt, dat $B$ beter benadert, door op ieder zijvlak van $A$ een stompe piramide te zetten met de top ook op $B$. Het nieuwe lichaam is geen regelmatig veelvlak of archimedisch lichaam meer.
• Een geodetisch veelvlak dat uit driehoeken bestaat, en twaalf 5-valente hoekpunten heeft en verder 6-valente. Het veelvlak is niet hoekpunttransitief, en de driehoeken zijn niet helemaal gelijkzijdig.
• Goldbergveelvlakken zijn veelvlakken met volledige of chirale icosahedrale symmetrie die bestaan uit 12 regelmatige vijfhoeken, en verder zeshoeken die gelijkzijdig zijn, maar ongelijke hoeken hebben.
• Bolvormige veelvlakken, waarbij de voorwaarde wordt losgelaten dat de zijvlakken vlak zijn.