Hilberts axiomasysteem van de euclidische meetkunde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Met de axioma's van Hilbert worden 20 (oorspronkelijk 21) door David Hilbert voorgestelde axioma's met betrekking tot ruimtelijke relaties bedoeld. Deze axioma's hebben ten grondslag gelegen aan de eigentijdse benadering van de euclidische meetkunde. De ongedefinieerde primitieven zijn: punten, lijnen en vlakken. Op basis hiervan worden drie primitieve relaties verondersteld:

  • Tussenligging, een ternaire relatie tussen punten
  • Omvatting/insluiting, drie tweeplaatsige relaties, namelijk één tussen punten en rechte lijnen, één tussen punten en vlakken en één tussen rechte lijnen en vlakken;
  • Congruentie, één tussen lijnstukken en één tussen hoeken, beide weergegeven door het infix ≅.

De axioma's[bewerken]

Voor dit doel verenigt Hilbert "zaken" en "betrekkingen" door 20 axioma's in vijf onderscheiden groepen:

Axioma's van "vereniging" (of incidentie), groep I[bewerken]

Met deze axioma's moet het begrip liggen impliciet gedefinieerd worden. Hilbert gebruikt hier het begrip bepalen (Duits:bestimmen) of bij elkaar horen (Duits:zusammengehören) een aantal andere zegswijzen: g gaat door P, g verbindt P en Q, P ligt op g, P is een punt van g, op g bestaat een punt P, enz. Vandaag de dag spreek men in de wiskunde van incidentie: „P incideert g“ (formeel: PIg).

  • I.1. Twee van elkaar verschillende punten P en Q bepalen altijd een rechte g.
  • I.2. Elke twee van elkaar verschillende punten op een rechte bepalen deze rechte.
  • I.3. Op een rechte zijn er altijd ten minste twee punten, in een vlak zijn er altijd ten minste drie niet op één rechte gelegen punten.
  • I.4. Drie niet op een en dezelfde rechte gelegen punten P, Q, R bepalen altijd een vlak.
  • I.5. Elke drie punten van een vlak, die niet op een en dezelfde lijn liggen, bepalen dit vlak.
  • I.6. Als twee punten P en Q van een rechte g in een vlak α liggen, dan ligt elk punt van g in het vlak α.
  • I.7. Als twee vlakken α en ß een punt P met gemeen hebben, hebben ze minstens een verder punt Q met elkaar gemeen.
  • I.8. Er zijn ten minste vier niet in één vlak gelegen punten.

Alleen vanuit deze axioma's kan bijvoorbeeld worden afgeleid,

dat twee rechten zich in een punt of helemaal niet snijden,
dat twee vlakken zich in een rechte of helemaal niet snijden,
dat een vlak en een niet in dit vlak liggende rechte zich in een punt of helemaal niet snijden,
dat een rechte en niet op deze rechte liggend punt opgeven een vlak definiëren,
dat twee zich snijdende lijnen een vlak bepalen.

II. Ordening[bewerken]

  1. Als een punt B tussen de punten A en C ligt, ligt B ook tussen C en A en bestaat er een lijn die de punten A,B en C bevat.
  2. Als A en C twee punten van een rechte lijn zijn, dan bestaat er ten minste een punt B dat tussen A en C ligt en ten minste een punt D dat zo is gesitueerd, dat C tussen A en D ligt.
  3. Van elke drie punten gelegen op een rechte lijn, is er altijd slechts een en niet meer dan een punt, dat tussen de andere twee punten ligt.
  4. Axioma van Pasch: Laat A, B, C drie punten zijn, die niet op dezelfde rechte lijn liggen en laat a een rechte lijn zijn, die in het vlak ABC ligt en die niet door enig van de drie punten A, B, C gaat. Als dan de rechte lijn a door een punt van het lijnsegment AB gaat, dan zal de rechte lijn a ook door of een punt op het lijnsegment BC of een punt op het lijnsegment AC gaan.

Referenties[bewerken]

  • (en) Howard Eves, 1997 (1958). Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics (Grondslagen en fundamentele concepten van de wiskunde). Dover. Hfdst. 4.2 behandelt het axiomasysteem van Hilbert voor de vlakke meetkunde.
  • (en) Ivor Grattan-Guinness, 2000. In Search of Mathematical Roots (Op zoek naar de wiskundige wortels). Princeton University Press.
  • (en) David Hilbert, 1980 (1899). The Foundations of Geometry (De grondslagen van de meetkunde), 2e ed. Chicago: Open Court (van het oorspronkelijke Duits in het Engels vertaald).

Externe links[bewerken]