Projectief vlak

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Parallelle lijnen snijden elkaar in het verdwijnpunt op oneindig.

In de wiskunde is een projectief vlak een meetkundige structuur die het begrip vlak uitbreidt. In het gewone Euclidische vlak snijden twee lijnen elkaar gewoonlijk in één bepaald punt, maar zijn er enkele paren van lijnen (namelijk parallelle lijnen) die elkaar niet snijden. Een projectief vlak kan worden beschouwd als een gewoon vlak dat is uitgerust met extra "punten op oneindig", waar parallelle lijnen elkaar snijden. Elke twee lijnen in een projectief vlak snijden elkaar dus in één en slechts één punt.

De basis voor dit wiskundige onderwerp werd in de Renaissance gelegd door kunstenaars, die zich bezig hielden met de ontwikkeling van technieken om in perspectief te kunnen tekenen.

Het archetypische voorbeeld is het reële projectieve vlak, dat ook wel bekend staat als het uitgebreide Euclidische vlak. Het reële projectieve vlak is, steeds in iets andere gedaanten, belangrijk in de algebraïsche meetkunde, de topologie en de projectieve meetkunde. In deze deelgebieden van de wiskunde wordt een projectief vlak aangeduid met PG(2,R), RP2 of P2(R). Er bestaan vele andere projectieve vlakken, zowel oneindige, zoals het complexe projectieve vlak en eindige, zoals het Fano-vlak.

Een projectief vlak is een 2-dimensionale projectieve ruimte, maar niet alle projectieve vlakken kunnen worden ingebed in 3-dimensionale projectieve ruimten. De inbeddingseigenschap is een gevolg van een resultaat dat bekend staat als de stelling van Desargues.

Definitie[bewerken]

Een projectief vlak bestaat uit een verzameling lijnen, een verzameling punten en een relatie tussen deze punten en lijnen die incidentie wordt genoemd met de volgende eigenschappen:[1]

  1. Gegeven enig paar van twee verschillende punten bestaat er precies één lijn die incident is met beide punten.
  2. Gegeven enig paar van twee verschillende lijnen bestaat er precies één punt dat incident is met beide lijnen.
  3. Er zijn vier punten zodanig dat geen enkele lijn incident is met meer dan twee van deze punten.

De tweede voorwaarde houdt in dat er geen parallelle lijnen zijn. De laatste voorwaarde is exclusief de zogenaamde ontaarde gevallen uit. De term "incidentie" wordt gebruikt om de symmetrische aard van de relatie tussen punten en lijnen te benadrukken. Men gebruikt de uitdrukking "punt P is incident met lijn l " in plaats van ofwel "P is op l" of "l passeert door P " .

Verschillend per deelgebied[bewerken]

De definitie van projectief vlak' kent meerdere definities; deze verschilt per deelgebied van de wiskunde. In de lineaire algebra definieert men een projectief vlak bijvoorbeeld zodanig dat het snel vlakken produceert, die tevens homogene ruimten voor enkele van de klassieke groepen zijn, dit met inbegrip van het reëel projectieve vlak \mathbb{P}^2.

In de axiomatische- en eindige meetkunde gebruikt men een projectief vlak voor een uitputtende studie van de enkelvoudige incidentie-eigenschappen van de Euclidische meetkunde.

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. In een meer formele versie van de definitie wordt erop gewezen dat de termen punt, lijn en incidentie primitieve noties (ongedefinieerde termen) zijn. Dit formele standpunt is nodig om het concept van dualiteit te begrijpen, wanneer dit op projectieve vlakken wordt toegepas.