Blokmatrix

Een blokmatrix of gepartitioneerde matrix is een matrix die gegeven wordt in termen van een aantal kleinere matrices, de blokken. Deze blokken spelen in bepaald opzicht dezelfde rol als de elementen. Een blokmatrix ontstaat door een matrix zowel verticaal als horizontaal te verdelen en de ontstane rechthoeken als matrices op te vatten.

Voorbeeld

De matrix

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&3&3&4\\4&1&1&1&3\\3&3&4&4&1\end{bmatrix}}$

kan bijvoorbeeld als volgt worden opgedeeld

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&\vdots &3&4&\vdots &5\\2&4&\vdots &3&3&\vdots &4\\\dots &\dots &\cdot &\dots &\dots &\cdot &\dots \\4&1&\vdots &1&1&\vdots &3\\3&3&\vdots &4&4&\vdots &1\end{bmatrix}}$

in de blokken:

$\mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}3&4\\3&3\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{13}={\begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix}}$ en

$\mathbf {P} _{21},\mathbf {P} _{22}$ en $\mathbf {P} _{23}$ op dezelfde manier. De matrix $\mathbf {P}$ kan dan als blokmatrix worden geschreven als

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}&\mathbf {P} _{13}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}&\mathbf {P} _{23}\end{bmatrix}}$

Vermenigvuldiging

Het matrixproduct van blokmatrices met overeenkomende partities heeft dezelfde structuur als het gewone matrixproduct met de blokken als elementen. Het product van de blokmatrix $\mathbf {A}$ met $q$ rijpartities en $s$ kolompartities.

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}$

en de blokmatrix $\mathbf {B}$ met $s$ rijpartities en $r$ kolompartities

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}}$,

is de blokmatrix $\mathbf {C}$ met $q$ rijpartities en $r$ kolompartities en als blokken:

$\mathbf {C} _{ij}=\sum _{k=1}^{s}\mathbf {A} _{ik}\mathbf {B} _{kj}$

Blokdiagonale matrices

Een blokdiagonale matrix is een vierkante blokmatrix met vierkante blokken op de hoofddiagonaal en elk ander blok gelijk aan de nulmatrix.

Een bloktridiagonale matrix is een andere speciale blokmatrix, die met een bandmatrix kan worden vergeleken. Net als de blokdiagonale matrix is het een vierkante matrix die vierkante matrices of blokken heeft in de lagere-, de hoofd- en de bovendiagonaal, terwijl alle andere blokken nulmatrices zijn. Het is in wezen een tridiagonale matrix, maar in plaats van scalairen heeft deze matrix submatrices. Een bloktridiagonale matrix $\mathbf {A}$ heeft de vorm

$\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{1}&\mathbf {C} _{1}&&&\cdots &&0\\\mathbf {A} _{2}&\mathbf {B} _{2}&\mathbf {C} _{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{k}&\mathbf {B} _{k}&\mathbf {C} _{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&\mathbf {A} _{n-1}&\mathbf {B} _{n-1}&\mathbf {C} _{n-1}\\0&&\cdots &&&\mathbf {A} _{n}&\mathbf {B} _{n}\end{bmatrix}}$

waarin $\mathbf {A} _{k}$, $\mathbf {B} _{k}$ en $\mathbf {C} _{k}$ vierkante deelmatrices zijn, op de lagere-, hoofd- en bovendiagonaal.

Bloktridiagonale matrices komt men vaak in numerieke wiskunde tegen, bijvoorbeeld in de numerieke stromingsleer. Er bestaan numerieke methoden voor LU-decompositie en algoritmen voor vergelijkingen met een bloktridiagonale matrix als coëfficiëntenmatrix. Het tridiagonale-matrix-algoritme is daar een voorbeeld van.

Directe som

Voor elke willekeurige $m\times n$-matrix $\mathbf {A}$ en $p\times q$-matrix $\mathbf {B}$ is de directe som, aangegeven door $\mathbf {A} \oplus \mathbf {B}$ gedefinieerd als

$\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.$

Bijvoorbeeld,

${\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$