Cardioïde

De constructie van een cardioïde (rood) met R = r = 1.

De cardioïde (letterlijk: hartvormig) of hartkromme is een wiskundige planaire kromme die ontstaat door een kleine cirkel met straal r te laten wentelen rond een grote cirkel met straal R en waarbij geldt dat R = r.

Vergelijkingen

De cardioïde kan, zoals alle curves, beschreven worden door een vergelijking. In de vergelijkingen is a geen variabele, maar een constante die afhangt van de grootte van de cardioïde.

Cartesische vergelijking

De vergelijking in Cartesiaanse coördinaten voor de cardioïde luidt:

$\left(x^{2}+y^{2}+2ax\right)^{2}\,=\,4a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,$

Parametervergelijking

De parametervergelijking van de cardioïde wordt gegeven door:

$x(t)=a(2\cos t-\cos 2t)\,$

$y(t)=a(2\sin t-\sin 2t)\,$

Dit kan, aan de hand van goniometrische identiteiten, herschreven worden tot:

$x(t)=2a\cos t\,(1-\cos t)\,$

$y(t)=2a\sin t\,(1-\cos t)\,$

Poolcoördinaten

In poolcoördinaten wordt de kromme beschreven als:

$r(\theta )=2a(1-\cos \theta )\,$

waarbij $\theta \,$ de parameter t vervangt.

Oppervlakte

De oppervlakte, omsloten door de kromme, wordt gegeven door:

$A={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\ r(\theta )^{2}\ d\theta =2a^{2}\int _{0}^{2\pi }\ (1-\cos \theta )^{2}\ d\theta$

wat kan herleid worden tot

$A=6\pi a^{2}\,$

Booglengte

De booglengte van de cardioïde met als poolcoördinaten

$r(\theta )=2a(1-\cos \theta )\,$

is gelijk aan

$L=16a\,$

Zie ook

• Cycloïde
• Nefroïde (voor R = 2r)

Externe links

• (en) Cardioïde op MathWorld