Complexe logaritme

Complexe logaritme getekend met een kleurafbeelding

In de complexe analyse is een complexe logaritme een "inverse" functie van de complexe exponentiële functie, net zoals de natuurlijke logaritme $y=\ln x$ de inverse is van de reële exponentiële functie $x=e^{y}$. Een logaritme van $z$ is dus een complex getal $w$, zodanig dat $e^{w}=z$. De notatie voor een dergelijke $w$ is $w=\log z$.

Omdat elk complex getal $z$ ongelijk aan 0 dus een oneindig aantal logaritmen heeft, is de nodige zorg vereist om de het begrip logaritme een eenduidige betekenis te geven:

$\mathrm {Re} (\log z)=\log |z|$

$\mathrm {Im} (\log z)$ is een argument van $z$.

Dus als $z=re^{i\theta }$ met $r>0$ (polaire vorm), dan is $w=\ln r+i\theta$ een logaritme van $z$; optellen van geheeltallige veelvouden van $2\pi i$ geeft alle andere.

Zie ook

• Logaritme
• Exponentiële functie