Geïsoleerde singulariteit

In de complexe analyse, een onderdeel van de wiskunde, is een geïsoleerde singulariteit een singulariteit die geen andere singulariteiten in de directe omgeving heeft.

Formeel is een complex getal $z$ een geïsoleerde singulariteit van een functie $f$ , als er een open schijf $D$ bestaat, die zodanig gecentreerd is in $z$ , dat $f$ holomorf is op $D\setminus \{z\}$ , dat wil zeggen, op de verzameling, verkregen uit $D$ door $z$ daar uit te verwijderen.

Elke singulariteit van een meromorfe functie is geïsoleerd, maar isolatie van singulariteiten is niet voldoende om te garanderen dat een functie meromorf is. Veel belangrijke instrumenten uit de complexe analyse, zoals de Laurentreeks en de residustelling vereisen dat alle relevante singulariteiten van de functie geïsoleerd zijn.

Voorbeelden

De functie $1/z$ heeft 0 als een geïsoleerde singulariteit.
De cosecans functie $\csc(\pi \,z)$ heeft elk geheel getal als een geïsoleerde singulariteit.
De functie $\csc \left({\frac {1}{\pi z}}\right)$ heeft een singulariteit in 0. Deze singulariteit is niet geïsoleerd, aangezien er extra singulariteiten in de reciproque van elke geheel getal bestaan, die zich willekeurig dicht bij 0 bevinden (dit hoewel de singulariteiten op deze reciproke punten zelf wel geïsoleerde singulariteiten zijn).

Zie ook