Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde is een harmonische functie een tweemaal continu-differentieerbare , reëelwaardige functie die voldoet aan de Laplace-vergelijking , dus waarvoor de Laplaciaan gelijk is aan 0.
Definitie De tweemaal continu-differentieerbare functie
f
:
D
→
R
{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }
D
{\displaystyle D}
open deelverzameling van de
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
harmonisch als op heel
D
{\displaystyle D}
Δ
f
=
0
{\displaystyle \Delta f=0}
Daarin is
Δ
{\displaystyle \Delta }
Laplace-operator :
Δ
=
∂
2
∂
x
1
2
+
∂
2
∂
x
2
2
+
…
+
∂
2
∂
x
n
2
{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\ldots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}
Eigenschappen De Laplace-operator is een lineaire afbeelding op de lineaire ruimte van de tweemaal continu-differentieerbare functies. De harmonische functies vormen de kern van de operator.
Etymologie De term "harmonisch" is afkomstig van de beweging van een punt op een strakgespannen snaar die een harmonische beweging ondergaat. De oplossing van de differentiaalvergelijking voor dit type beweging kan worden geschreven in termen van sinussen en cosinussen, dus harmonische functies.
Voorbeelden In twee dimensies :
het reële- en het imaginaire deel van een complexe functie . Zij namelijk
f
=
u
+
i
v
{\displaystyle f=u+iv}
u
,
v
{\displaystyle u,v}
f
{\displaystyle f}
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
en
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\quad {\text{en}}\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}
zodat
Δ
u
=
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
=
∂
∂
x
∂
u
∂
x
+
∂
∂
y
∂
u
∂
y
=
∂
∂
x
∂
v
∂
y
−
∂
∂
y
∂
v
∂
x
=
0
{\displaystyle \Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial y}}-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial v}{\partial x}}=0}
Analoog voor het imaginaire deel. de functie
f
(
x
,
y
)
=
e
x
sin
(
y
)
{\displaystyle f(x,y)=e^{x}\sin(y)}
∂
2
∂
x
2
f
(
x
,
y
)
=
∂
∂
x
e
x
sin
(
y
)
=
e
x
sin
(
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}e^{x}\sin(y)=e^{x}\sin(y)}
∂
2
∂
y
2
f
(
x
,
y
)
=
∂
∂
y
(
−
e
x
cos
(
y
)
)
=
−
e
x
sin
(
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}(-e^{x}\cos(y))=-e^{x}\sin(y)}
In drie dimensies:
In
n
{\displaystyle n}
lineaire functies op de
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
voor
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
(
x
1
2
+
…
+
x
n
2
)
1
−
n
2
,
x
≠
0
{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})^{1-{\frac {n}{2}}},\quad \ x\neq 0}
