Homomorfiestelling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, legt de homomorfiestelling het verband tussen de structuur van twee wiskundige objecten, waartussen een homomorfisme is gegeven, en de kern en het beeld van het homomorfise.

De homomorfiestelling wordt gebruikt om de isomorfismestellingen te bewijzen.

Groepstheoretische versie[bewerken]

Stel en zijn twee groepen, een groepshomomorfisme en een normaaldeler in en laat het natuurlijke surjectieve homomorfisme zijn.

Als een deelverzameling is van de kern van bestaat er een uniek homomorfisme zodanig dat

De situatie wordt beschreven door het onderstaande commutatieve diagram

FundHomDiag.png

Door voor te nemen, volgt direct de eerste isomorfismestelling.

Bewijs

Voor moet gelden . Wil dit een welgedefinieerde functie zijn, dan moet het beeld onafhankelijk zijn van de representant van een nevenklasse. Inderdaad geldt:

als , dan is dus , met het eenheidselement, zodat en dus is ook:

Verder is:

dus is een homomorfisme, en als

, dan is

dus is surjectief op

Ook is uniek, want stel

, met .

dan is

Andere versies[bewerken]

Soortgelijke stellingen zijn er voor monoïdes, vectorruimten, modules en ringen.

Externe link[bewerken]