In de abstracte algebra , een deelgebied van de wiskunde , legt de homomorfiestelling het verband tussen de structuur van twee wiskundige objecten , waartussen een homomorfisme is gegeven, en de kern en het beeld van het homomorfise.
De homomorfiestelling wordt gebruikt om de isomorfismestellingen te bewijzen .
Groepstheoretische versie [ bewerken ] Stel
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
groepen ,
f
:
G
→
H
{\displaystyle f:G\to H}
groepshomomorfisme en
N
{\displaystyle N}
normaaldeler in
G
{\displaystyle G}
φ
{\displaystyle \varphi }
surjectieve homomorfisme
G
→
G
/
N
{\displaystyle G\to G/N}
Als
N
{\displaystyle N}
kern van
f
,
{\displaystyle f,}
h
:
G
/
N
→
H
{\displaystyle h:G/N\to H}
f
=
h
φ
.
{\displaystyle f=h\varphi .}
De situatie wordt beschreven door het onderstaande commutatieve diagram
Door voor
N
=
K
e
r
(
f
)
{\displaystyle N=\mathrm {Ker} (f)}
Bewijs Voor
h
{\displaystyle h}
h
(
a
N
)
=
h
(
φ
(
a
)
)
=
f
(
a
)
{\displaystyle h(aN)=h(\varphi (a))=f(a)}
als
a
N
=
b
N
{\displaystyle aN=bN}
b
−
1
a
∈
N
{\displaystyle b^{-1}a\in N}
f
(
b
−
1
a
)
=
e
{\displaystyle f(b^{-1}a)=e}
e
{\displaystyle e}
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
h
(
a
N
)
=
f
(
a
)
=
f
(
b
)
=
h
(
b
N
)
.
{\displaystyle h(aN)=f(a)=f(b)=h(bN).}
Verder is:
h
(
a
N
b
N
)
=
h
(
a
b
N
)
=
f
(
a
b
)
=
f
(
a
)
f
(
b
)
=
h
(
a
N
)
h
(
b
N
)
,
{\displaystyle h(aNbN)=h(abN)=f(ab)=f(a)f(b)=h(aN)h(bN),}
dus
h
{\displaystyle h}
g
=
f
(
a
)
∈
f
(
G
)
{\displaystyle g=f(a)\in f(G)}
h
(
a
N
)
=
f
(
a
)
=
g
{\displaystyle h(aN)=f(a)=g}
dus
h
{\displaystyle h}
f
(
G
)
{\displaystyle f(G)}
Ook is
h
{\displaystyle h}
k
:
G
/
N
→
H
{\displaystyle k:G/N\to H}
k
(
a
N
b
N
)
=
k
(
a
N
)
k
(
b
N
)
{\displaystyle k(aNbN)=k(aN)k(bN)}
dan is
k
(
φ
(
a
)
)
=
k
(
a
N
)
=
f
(
a
)
=
h
(
a
N
)
{\displaystyle k(\varphi (a))=k(aN)=f(a)=h(aN)}
Soortgelijke stellingen zijn er voor monoïdes , vectorruimten , modules en ringen .
