In de abstracte algebra , een deelgebied van de wiskunde , legt de homomorfiestelling het verband tussen de structuur van twee wiskundige objecten , waartussen een homomorfisme is gegeven, en de kern en het beeld van het homomorfise.
De homomorfiestelling wordt gebruikt om de isomorfismestellingen te bewijzen .
Groepstheoretische versie [ bewerken ]
Stel
G
{\displaystyle G}
en
H
{\displaystyle H}
zijn twee groepen ,
f
:
G
→
H
{\displaystyle f:G\to H}
een groepshomomorfisme en
N
{\displaystyle N}
een normaaldeler in
G
{\displaystyle G}
en laat
φ
{\displaystyle \varphi }
het natuurlijke surjectieve homomorfisme
G
→
G
/
N
{\displaystyle G\to G/N}
zijn.
Als
N
{\displaystyle N}
een deelverzameling is van de kern van
f
,
{\displaystyle f,}
bestaat er een uniek homomorfisme
h
:
G
/
N
→
H
{\displaystyle h:G/N\to H}
zodanig dat
f
=
h
φ
.
{\displaystyle f=h\varphi .}
De situatie wordt beschreven door het onderstaande commutatieve diagram
Door voor
N
=
K
e
r
(
f
)
{\displaystyle N=\mathrm {Ker} (f)}
te nemen, volgt direct de eerste isomorfismestelling.
Bewijs
Voor
h
{\displaystyle h}
moet gelden
h
(
a
N
)
=
h
(
φ
(
a
)
)
=
f
(
a
)
{\displaystyle h(aN)=h(\varphi (a))=f(a)}
. Wil dit een welgedefinieerde functie zijn, dan moet het beeld onafhankelijk zijn van de representant van een nevenklasse. Inderdaad geldt:
als
a
N
=
b
N
{\displaystyle aN=bN}
, dan is
b
−
1
a
∈
N
{\displaystyle b^{-1}a\in N}
dus
f
(
b
−
1
a
)
=
e
{\displaystyle f(b^{-1}a)=e}
, met
e
{\displaystyle e}
het eenheidselement, zodat
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
en dus is ook:
h
(
a
N
)
=
f
(
a
)
=
f
(
b
)
=
h
(
b
N
)
.
{\displaystyle h(aN)=f(a)=f(b)=h(bN).}
Verder is:
h
(
a
N
b
N
)
=
h
(
a
b
N
)
=
f
(
a
b
)
=
f
(
a
)
f
(
b
)
=
h
(
a
N
)
h
(
b
N
)
,
{\displaystyle h(aNbN)=h(abN)=f(ab)=f(a)f(b)=h(aN)h(bN),}
dus
h
{\displaystyle h}
is een homomorfisme, en als
g
=
f
(
a
)
∈
f
(
G
)
{\displaystyle g=f(a)\in f(G)}
, dan is
h
(
a
N
)
=
f
(
a
)
=
g
{\displaystyle h(aN)=f(a)=g}
dus
h
{\displaystyle h}
is surjectief op
f
(
G
)
{\displaystyle f(G)}
Ook is
h
{\displaystyle h}
uniek, want stel
k
:
G
/
N
→
H
{\displaystyle k:G/N\to H}
, met
k
(
a
N
b
N
)
=
k
(
a
N
)
k
(
b
N
)
{\displaystyle k(aNbN)=k(aN)k(bN)}
.
dan is
k
(
φ
(
a
)
)
=
k
(
a
N
)
=
f
(
a
)
=
h
(
a
N
)
{\displaystyle k(\varphi (a))=k(aN)=f(a)=h(aN)}
Soortgelijke stellingen zijn er voor monoïdes , vectorruimten , modules en ringen .