Kubische kromme van Neuberg

De kubische kromme van Neuberg is de gepivoteerde isogonale kubische kromme met het snijpunt van de rechte van Euler en de oneindig verre rechte als pivot. De vergelijking in barycentrische coördinaten is

${\begin{array}{lll}{\mathcal {N}}:&((b^{2}-c^{2})^{2}+a^{2}(b^{2}+c^{2})-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})&+\\&((c^{2}-a^{2})^{2}+b^{2}(a^{2}+c^{2})-2b^{4})y(a^{2}z^{2}-c^{2}x^{2})&+\\&((a^{2}-b^{2})^{2}+c^{2}(a^{2}+b^{2})-2c^{4})z(b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2})&=0\end{array}}$

Punten

De volgende punten liggen op ${\mathcal {N}}$:

• A, B en C,
• X(30),
• Het hoogtepunt,
• Het middelpunt van de omgeschreven cirkel,
• De hoekpunten van de spiegeldriehoek,
• De hoekpunten van gelijkzijdige driehoeken vastgeplakt aan de zijden van ABC,
• Het punt van Fermat en het tweede isogone centrum,
• De anticomplementen van het punt van Fermat en het tweede isogone centrum,
• De isodynamische punten,
• De middelpunten van de ingeschreven en aangeschreven cirkels,
• De isotrope punten, ${\mathcal {N}}$ is dus circulair.

Meetkundige plaatsen

${\mathcal {N}}$ is bekend om zijn vele omschrijvingen als meetkundige plaats. Hieronder volgen een aantal voorbeelden:

• De meetkundige plaats van punten P zodat de lijn door P en zijn isogonale verwant evenwijdig is met de rechte van Euler is ${\mathcal {N}}$,
• De meetkundige plaats van punten P zodat de rechten van Euler van PBC, APC, ABP en ABC concurrent zijn is de vereniging van ${\mathcal {N}}$ en de omgeschreven cirkel,
• De meetkundige plaats van punten P zodat de assen van Brocard van PBC, APC, ABP en ABC concurrent zijn is de vereniging van ${\mathcal {N}}$ en de omgeschreven cirkel,
• De meetkundige plaats van punten P zodat de driehoek van middelpunten van omgeschreven cirkels van PBC, APC en ABP perspectief is met ABC is de vereniging van ${\mathcal {N}}$ en de omgeschreven cirkel.

Een enorme collectie van meetkundige plaatsen is gegeven in (Čerin, 1998).

Bronnen, noten en/of referenties

• Čerin, Z. (1998) "Locus Properties of the Neuberg Cubic", Journal of Geometry jrg. 63, pp. 39-56.
• Gibert, B. K001:Neuberg Cubic, onderdeel van Catalogue of Triangle Cubics.
• Hatzipolakis, A.P., F.M. van Lamoen, B. Wolk en P. Yiu "Concurrency of four Euler lines", Forum Geometricorum, jrg. 1, pp. 59-68. Beschikbaar via deze link.