Priemring
Uiterlijk
In de abstracte algebra, meer specifiek de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een niet-triviale ring R een priemring, als voor elke twee elementen a en b van R geldt dat als a r b=0 voor alle r in R, dan is of a = 0 of b = 0. Priemringen kunnen ook verwijzen naar de delingsringen van een veld bepaald door haar karakteristieken. Voor een karakteristiek 0 veld, is de priemring de gehele getallen, voor een karakteristiek p veld (waar p een priemgetal is) is de priemring het eindige veld van orde p (zie priemveld)[1]
Onder de eerste definitie kan men priemringen beschouwen als een gelijktijdige veralgemening van zowel Integriteitsdomeinen als matrixringen over velden.
Voorbeelden
- Elk domein is een priemring.
- Elke enkelvoudige ring is een priemring, en meer in het algemeen is elke linker- of rechter primitieve ring is een priemring.
- Elke matrix ring over een integraaldomein is een priemring. Met name is de ring van 2-bij-2 geheeltallige matrices een priemring.
Eigenschappen
- Een commutatieve ring is een priemring dan en slechts dan als deze commutatieve ring ook een Integriteitsdomein is.
- Een ring is priem dan en slechts dan als haar nulideaal een priemideaal is.
- Een niet-triviale ring is priem dan en slechts dan als de monoïde van zijn idealen nuldelers mist.
- De ring van matrices over een priemring is opnieuw een priemring.
Voetnoten
- ↑ Pagina 90 van Algebra van Serge Lang
Referenties
- (en) Lam, Tsit-Yuen, A First Course in Noncommutative Rings (Een eerste cursus in niet-commutatieve ringen), Springer-Verlag, Berlin, New York, 2nd, 978-0-387-95325-0, 2001