Product van ringen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het mogelijk om verschillende ringen te combineren tot een grote productring. Dit doet men als volgt: als I een willekeurige indexverzameling is en als Ri een ring is voor elke i in I, dan kan het cartesisch product Πi in I Ri worden omgezet in een ring door de operatie coordinaatsgewijs te definiëren, dat wil zeggen

(ai) + (bi) = (ai + bi)
(ai) · (bi) = (ai · bi)

De resulterende ring wordt een direct product van de ringen Ri genoemd. Het directe product van een eindig aantal ringen R1,...,Rk wordt ook geschreven als R1 × R2 × ... × Rk.

Voorbeelden[bewerken]

Het belangrijkste voorbeeld is de ring Z/nZ van gehele getallen modulo n. Als n wordt geschreven als een product van priem machten (zie hoofdstelling van de rekenkunde):

n={p_1}^{n_1}\  {p_2}^{n_2}\ \cdots\ {p_k}^{n_k}

waar de pi onderscheiden priemgetallen zijn, dan is Z/nZ natuurlijk isomorf met de productring

\mathbf{Z}/{p_1}^{n_1}\mathbf{Z} \ \times \ \mathbf{Z}/{p_2}^{n_2}\mathbf{Z} \ \times \ \cdots \ \times \ \mathbf{Z}/{p_k}^{n_k}\mathbf{Z}

Dit volgt uit de Chinese reststelling.

Eigenschappen[bewerken]

Als R = Πi in I Ri een product van ringen is, dan heeft men voor elke i in I een surjectief ringhomomorfisme pi: RRi, dat het product op de i-de coördinaat projecteert. Het product R heeft, samen met de projecties pi, de volgende universele eigenschap:

als S een willekeurige ring is en fi: SRi een ringhomomorfisme is voor iedere i in I, dan bestaat er precies een ringhomomorfisme f: SR, zodanig dat pi o f = fi voor alle i in I.

Dit toont aan dat het product van ringen een instantiëring van producten in de zin van de categorietheorie is.

Als Ai in Ri een ideaal is voor alle i in I, dan is A = Πi in I Ai een ideaal van R. Als I eindig is, dan is het omgekeerde waar is, dat wil zeggen dat iedere ideaal van R van deze vorm is. Maar als I oneindig is en de ringen Ri niet nul zijn, dan is het omgekeerde onwaar; de verzameling van alle elementen met alle, maar een eindig aantal, niet nulzijnde coördinaten vormt een ideaal, dat geen direct product van idealen van de Ri is. De ideaal A is een priemideaal in R als alle, behalve een van de Ai, gelijk zijn aan Ri en de resterende Ai een priemideaal in Ri zijn. Het omgekeerde is echter niet waar, wanneer I oneindig is. De directe som van de Ri vormen bijvoorbeeld een ideaal, dat niet vervat is in enige dergelijke A, maar het keuzeaxioma geeft dat het is vervat in enige maximaalideaal, die a fortiori priem is.

Een element x in R is dan en slechts dan een eenheid als al haar componenten ook eenheden zijn, dat wil zeggen dan en slechts dan als pi(x) een eenheid in R i is voor elke i in I. De groep van eenheden van R is het product van de groepen van eenheden van Ri. Een product van meer dan een niet-nulzijnde ringen heeft altijd nuldelers: als x een element van het product is, waarvan alle coördinaten, behalve pi(x), nul zijn en y is een element van het product, waar alle coördinaten nul zijn, behalve pj(y) (met ij), dan geldt xy = 0 in de productring.

Zie ook[bewerken]