Breuk (wiskunde)

Het toepassen van een breuk bij het opdelen van een taart.

Een breuk in engere zin is de uitkomst (quotiënt) van een deling van twee of meer gehele getallen. Als de teller kleiner is dan de noemer, ligt de breuk tussen 0 en 1 (bijvoorbeeld ¹⁄₂). Soms wordt een geheel getal plus een breuk tezamen ook een breuk genoemd (bijvoorbeeld 2+³⁄₄).

Een breuk met teller 1 noemt men een stambreuk (bijvoorbeeld ¹⁄₄₀).

Een breuk is een rationaal getal en ieder rationaal getal kan als breuk (in ruimere zin) geschreven worden. Er bestaan ook getallen die niet als breuk te schrijven zijn, de zogenaamde irrationale getallen.

Men spreekt over een echte breuk wanneer de teller kleiner is dan de noemer (bijvoorbeeld ²⁄₃ of ¹⁄₅) en over een onechte breuk wanneer de teller groter of gelijk is aan de noemer (bijvoorbeeld ⁶⁄₅ of ¹⁄₁). Onechte breuken leveren een getal op dat groter of gelijk is aan 1.

Schrijfwijzen

Vier verschillende notaties hebben in de geschiedenis standgehouden:

1. met teller, deelteken "$:\!$:" en noemer dus bijvoorbeeld $1:2\!$.
2. met teller, horizontale breukstreep en noemer ${\frac {1}{2}}\!$
3. met teller, schuine breukstreep en noemer $1/2\!$
4. de decimale breuk $0,5\!$

Bewerkingen

Vereenvoudigen

Het is het handigst een breuk zo mogelijk eerst te vereenvoudigen, voordat men gaat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen.

Van iedere breuk bestaat een eenvoudigste vorm, waarin teller en noemer zo klein mogelijk zijn. De eenvoudigste vorm van ${\frac {13}{39}}=1/3$: de breuk is niet weer te geven met kleinere gehele getallen dan 1 en 3. Het "zo klein mogelijk maken" noemt men vereenvoudigen. De efficiënte methode is de teller en de noemer te ontbinden in priemgetallen. De gemeenschappelijke getallen boven en onder de breuklijn kan men schrappen om zo tot de verst vereenvoudigde breuk te komen.

60/96= ${\frac {60}{96}}={\frac {2\times 2\times 3\times 5}{2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3}}={\frac {(2\times 2\times 3)\times 5}{(2\times 2\times 3)\times (2\times 2\times 2)}}={\frac {5}{2\times 2\times 2}}$ = 5/8.

Dit onderdeel van het rekenen met breuken wordt als het moeilijkste beschouwd.

Als een breuk zo ver als mogelijk wordt vereenvoudigd, ontstaat een breuk waarvan de teller en de noemer de grootste gemene deler 1 hebben.

Optellen

Voor het optellen van breuken moeten deze eerst gelijknamig (met zelfde naam of noemer) worden gemaakt. Men zegt ook op één noemer brengen. Ze moeten dezelfde noemer krijgen. Als gemeenschappelijke noemer komt het product van de afzonderlijke noemers in aanmerking, maar in het algemeen is het kleinste gemene veelvoud beter. Een getal verandert niet als het met 1 vermenigvuldigd wordt. Dus mag men de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen (dit is maal 1). Dus ¹⁄₂ = ¹⁄₂ x 1 = ¹⁄₂ x ³⁄₃ = (¹⁄₃)/(²⁄₃) = ³⁄₆.

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}={4\times 1 \over 4\times 3}+{3\times 1 \over 3\times 4}={\frac {4}{12}}+{\frac {3}{12}}={\frac {7}{12}}$

$1{\frac {1}{4}}+2{\frac {2}{5}}=1{5\times 1 \over 5\times 4}+2{4\times 2 \over 4\times 5}=1{\frac {5}{20}}+2{\frac {8}{20}}=3{\frac {13}{20}}$

Voorbeeld van het gebruik van het kleinste gemene veelvoud (kgv). Het kgv van 6 en 8 is 24 = 4x6=3x8, dus

${5 \over 6}+{7 \over 8}={4\times 5 \over 4\times 6}+{3\times 7 \over 3\times 8}={\frac {20}{24}}+{\frac {21}{24}}={\frac {41}{24}}=1{\frac {17}{24}}$

Aftrekken

Bij het aftrekken gaat men op dezelfde manier te werk:

${\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}={4\times 1 \over 4\times 3}-{3\times 1 \over 3\times 4}={\frac {4}{12}}-{\frac {3}{12}}={\frac {1}{12}}$

Vermenigvuldigen

Met hele getallen

Vermenigvuldigen van breuken met hele getallen is eenvoudig. Eenvierde vermenigvuldigen met drie bijvoorbeeld doe je door simpelweg de teller met drie te vermenigvuldigen, bijvoorbeeld

$3\times {1 \over 4}={3 \over 4}$

en

$5\times {3 \over 7}={15 \over 7}=2{1 \over 7}$

Met breuken

Vermenigvuldigen van breuken met een breuk is niet moeilijker. De teller van de eerste breuk wordt vermenigvuldigd met de teller van de tweede breuk en hetzelfde doe je met de noemers.

${2 \over 3}\times {4 \over 7}={2\times 4 \over 3\times 7}={8 \over 21}$

Nog twee voorbeelden:

${1 \over 5}\times {3 \over 7}={1\times 3 \over 5\times 7}={3 \over 35}$

${5 \over 6}\times {7 \over 8}={5\times 7 \over 6\times 8}={35 \over 48}$

Gehele getallen kunnen we ook op deze manier bekijken:

$5={5 \over 1}$

$5\times {3 \over 7}={5 \over 1}\times {3 \over 7}={{5\times 3} \over {1\times 7}}={15 \over 7}=2{1 \over 7}$

Delen

Delen is het vermenigvuldigen met het omgekeerde. Dit houdt in dat men in de tweede breuk de teller en de noemer verwisselt (dus 2/3 wordt 3/2, 1/4 wordt 4/1), en vervolgens de eerste breuk vermenigvuldigt met die omgedraaide breuk

${\frac {1}{2}}:{\frac {3}{5}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {5}{3}}={1\times 5 \over 2\times 3}={\frac {5}{6}}$

Deze manier werkt omdat men de breuk met 1 mag vermenigvuldigen. Door teller en noemer beide te vermenigvuldigen met het omgekeerde van de noemer wordt de nieuwe noemer 1. Omdat ${\frac {\frac {5}{3}}{\frac {5}{3}}}=1$ mogen we de breuk hiermee vermenigvuldigen zodat in het voorbeeld

${\frac {1}{2}}:{\frac {3}{5}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {3}{5}}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {3}{5}}}\times 1={\frac {{\frac {1}{2}}\times {\frac {5}{3}}}{{\frac {3}{5}}\times {\frac {5}{3}}}}={\frac {{\frac {1}{2}}\times {\frac {5}{3}}}{1}}={1\times 5 \over 2\times 3}={\frac {5}{6}}\!$ yeliz kan vele beter rekenen dan wikipedia

Zie ook

• Aliquot
• Irrationaal getal
• Kruislings vermenigvuldigen
• Noemer
• Teller (breuk)
• Wiskunde van A tot Z

Algemene algebraïsche rekenregels

In het vervolg van dit artikel gebruiken we de punt ($\cdot$) als vermenigvuldigingsteken, zoals in de algebra gebruikelijk is.

Optellen en aftrekken

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}}$

${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d-b\cdot c}{b\cdot d}}$

Vermenigvuldigen en delen

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}$

${\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

Vereenvoudigen

${\frac {a\cdot x}{b\cdot x}}={\frac {a}{b}}$

Abstracte definitie van de rationale getallen

Als we de verzameling $\mathbb {Z}$ der gehele getallen als gegeven beschouwen, dan kan de verzameling der breuken als volgt opgebouwd worden.

Beschouw de productverzameling $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{0}$ (dat is de verzameling van alle koppels van gehele getallen waarvan het tweede element verschillend is van 0). Op deze productverzameling bepalen we een equivalentierelatie door te zeggen dat het koppel (a,b) gelijkwaardig is met (c,d) als a\cdot d = b\cdot c

Opdat dit een equivalentierelatie zou zijn, moeten we transitiviteit nagaan: indien een willekeurig derde koppel (e,f) gelijkwaardig is met (c,d), dan ook met (a,b). We rekenen dit uit:

$d\cdot (a\cdot f-b\cdot e)=a\cdot d\cdot f-b\cdot d\cdot e=b\cdot c\cdot f-b\cdot d\cdot e=b\cdot (c\cdot f-d\cdot e)=0$

en omdat d verschillend is van 0, moet a\cdot f = b\cdot e.

We noteren de equivalentieklasse van het koppel (a,b) als de breuk a/b. Men kan nagaan dat de algemene rekenregels voor de optelling en de vermenigvuldiging van breuken compatibel zijn met deze equivalentierelatie (de resultaten zijn onafhankelijk van de gekozen vertegenwoordiger van een equivalentieklasse) en dat ze de structuur van een veld bepalen. De elementen van dit veld noemt men de rationale getallen.

Externe links

Cursus "Rekenen met breuken" op Wetenschapsforum.nl

Mediabestanden

Zie de categorie Fraction van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.