Dit is een oude versie van deze pagina, bewerkt door RomaineBot(overleg | bijdragen) op 9 sep 2019 om 06:48. (|{{Largethumb}}| is redundant, gebruik voortaan |thumb|) Deze versie kan sterk verschillen van de huidige versie van deze pagina.
De bézoutgetallen en (zie hierboven) kunnen worden bepaald met behulp van het uitgebreide algoritme van Euclides. Ze zijn echter niet uniek. Als het paar een oplossing is, dan zijn daaruit oneindig veel oplossingen te construeren. Deze worden namelijk gegeven door
Bewijs van de stelling
Het bewijs is constructief. Met het uitgebreide algoritme van Euclides kan voor elke en de ggd uitgedrukt worden als een gehele lineaire combinatie van resultaten die zelf weer gehele lineaire combinaties zijn van andere tussenresultaten. In een eindig aantal stappen laten die tussenresultaten zich uitdrukken als een gehele lineaire combinatie van en .
In het geval van de stelling is , dus is door de te delen, en heeft de vergelijking
een oplossing.
Stel nu dat er een is, dat voor zekere door het Algoritme van Euclides bepaalde gehele en gelijk is aan:
Dan moet een veelvoud van zijn en is
Voorbeeld
De grootste gemene deler van 63 en 105 is 21. De stelling Bachet-Bézout beweert dat er een geheeltallige oplossing moet bestaan voor en in de vergelijking
Een van de oplossingen is en inderdaad is
Andere oplossingen zijn en
Generalisatie
Algemeen zegt deze stelling dat er voor elk eindig aantal getallen gehele getallen zijn, zodat:
Deze stelling heeft enkele belangrijke gevolgen. Deze worden hier niet bewezen, maar ze volgen vrijwel allemaal rechtstreeks uit de stelling.
De diofantische vergelijking in de variabelen en dus met gehele en heeft alleen dan oplossingen als de ggd van en een deler is van
Iedere gemeenschappelijke deler van en is ook deler van de ggd van en
Voor alle gehele geldt dat
Voor alle en geldt dat een deler is van het product In het bijzonder geldt dus dat als en relatief priem zijn.
Voor elke natuurlijke en gehele is er een zodat
Voor alle en delers en van geldt dat ook een deler is van In het bijzonder geldt dat ieder getal dat tegelijk een veelvoud is van en ook een veelvoud is van Het kleinste gemene veelvoud van en is dus gelijk aan
Voetnoten
↑Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations (Galoistheorie van de algebraïsche vergelijkingen). World Scientific, Singapore. ISBN 981-02-4541-6.