Veelhoeksgetal

Een veelhoeksgetal is een getal dat het aantal stippen is van een figuur met in een hoekpunt geneste regelmatige veelhoeken. In de oudheid ontdekte men dat getallen waren weer te geven door een aantal figuurtjes zoals rijstkorrels of zaden te rangschikken in een figuur, dit noemt men figuratieve getallen. De veelhoeksgetallen zijn daar een voorbeeld van. De bekendste soorten veelhoeksgetallen zijn de driehoeksgetallen en kwadraatgetallen.

Voor een groter aantal hoeken moet men bedenken dat de veelhoeken één gezamenlijk hoekpunt hebben en dat vanuit dat hoekpunt de zijden in dezelfde richting samenvallen. Veelhoeksgetallen met in een hoekpunt geneste veelhoeken en gecentreerde veelhoeksgetallen voor dezelfde veelhoek zijn niet hetzelfde. Het is daarom zinvol verschil tussen kwadraat en kwadraatgetal te maken.

De volgende figuur is een voorbeeld van zeshoeksgetallen:

1		6		15		28

Als $z$ het aantal zijden is van een veelhoek, dan is de formule voor het $n$e $z$-hoeksgetal gegeven door

$V_{z}(n)=({\tfrac {1}{2}}z-1)n^{2}-({\tfrac {1}{2}}z-2)n={\tfrac {1}{2}}n\{(z-2)n-(z-4)\}$

Elk veelhoeksgetal is ook uit te drukken in de driehoeksgetallen $V_{3}$, namelijk

$V_{z}(n)=V_{3}(n)+(z-3)V_{3}(n-1)$

Een tabel met de eerste veelhoeksgetallen is:

Naam	Formule	n								OEIS
		1	2	3	4	5	6	7	8
driehoeksgetal	${\tfrac {1}{2}}n(n+1)$	1	3	6	10	15	21	28	36	rij A000217 in OEIS
kwadraat	$n^{2}$	1	4	9	16	25	36	49	64	rij A000290 in OEIS
vijfhoeksgetal	${\tfrac {1}{2}}n(3n-1)$	1	5	12	22	35	51	70	92	rij A000326 in OEIS
zeshoeksgetal	$n(2n-1)$	1	6	15	28	45	66	91	120	rij A000384 in OEIS
heptagonaal getal	${\tfrac {1}{2}}n(5n-3)$	1	7	18	34	55	81	112	148	rij A000566 in OEIS
achthoeksgetal	$n(3n-2)$	1	8	21	40	65	96	133	176	rij A000567 in OEIS
negenhoeksgetal	${\tfrac {1}{2}}n(7n-5)$	1	9	24	46	75	111	154	204	rij A001106 in OEIS
10-hoeksgetal	$n(4n-3)$	1	10	27	52	85	126	175	232	rij A001107 in OEIS
11-hoeksgetal	${\tfrac {1}{2}}n(9n-7)$	1	11	30	58	95	141	196	260	rij A051682 in OEIS
12-hoeksgetal	$n(5n-4)$	1	12	33	64	105	156	217	288	rij A051624 in OEIS

Veelhoeksgetallen en gecentreerde veelhoeksgetallen

Er is een verschil tussen de veelhoeksgetallen gedefinieerd vanuit een hoekpunt en gecentreerde veelhoeksgetallen. De gelijkvormige veelhoeken, steeds met een zijde één groter, die een veelhoeksgetal samenstellen, hebben één gezamenlijk hoekpunt. Alle veelhoeken hierin met zijden van minimaal één delen bovendien voor een deel de beide zijden, die aan dit hoekpunt liggen.

De verschillende veelhoeken, die een gecentreerd veelhoeksgetal samenstellen, hebben geen punten hetzelfde.

Als $z$ het aantal zijden is van een veelhoek, dan is de formule voor het gecentreerde $n$e $z$-hoeksgetal gegeven door

$C_{z}(n)={\tfrac {1}{2}}z\cdot n^{2}-{\tfrac {1}{2}}z\cdot n+1={\tfrac {1}{2}}n(z\cdot n-z)+1$

• 
  22 is het vierde vijfhoeksgetal.
• 
  31 is het vierde gecentreerde vijfhoeksgetal.

Een tabel met de eerste gecentreerde veelhoeksgetallen is:

Naam	Formule	n								OEIS
		1	2	3	4	5	6	7	8
gecentreerd driehoeksgetal	${\tfrac {3}{2}}n(n-1)+1$	1	4	10	19	31	46	64	85	rij A005448 in OEIS
gecentreerd vierhoeksgetal	$2n(n-1)+1$	1	5	13	25	41	61	85	113	rij A001844 in OEIS
gecentreerd vijfhoeksgetal	${\tfrac {5}{2}}n(n-1)+1$	1	6	16	31	51	76	106	141	rij A005891 in OEIS
gecentreerd zeshoeksgetal	$3n(n-1)+1$	1	7	19	37	61	91	127	169	rij A003215 in OEIS
gecentreerd zevenhoeksgetal	${\tfrac {7}{2}}n(n-1)+1$	1	8	22	43	71	106	148	197	rij A069099 in OEIS
gecentreerd achthoeksgetal	$(2n-1)^{2}$	1	9	25	49	81	121	169	225	rij A016754 in OEIS
gecentreerd negenhoeksgetal	${\tfrac {9}{2}}n(n-1)+1$	1	10	28	55	91	136	190	253	rij A060544 in OEIS
gecentreerd 10-hoeksgetal	$5n(n-1)+1$	1	11	31	61	101	151	211	281	rij A062786 in OEIS
gecentreerd 11-hoeksgetal	${\tfrac {11}{2}}n(n-1)+1$	1	12	34	67	111	166	232	309	rij A069125 in OEIS
gecentreerd 12-hoeksgetal	$6n(n-1)+1$	1	13	37	73	121	181	253	337	rij A003154 in OEIS

Externe links

• rij A086270 in OEIS. veelhoeksgetallen
• (en) MathWorld. Polygonal Number.