Begrensdheid

Begrensde verzameling (boven) en onbegrensde verzameling (onder)

Diverse takken van de wiskunde gebruiken het adjectief begrensd om aan te geven dat een object eindige afmetingen heeft.

Begrensde verzameling

In de meetkunde heet een deelverzameling $V$ van het vlak of de ruimte begrensd als er een bovengrens $D$ bestaat voor alle onderlinge afstanden tussen punten van $V$:

$\exists D\in\mathbb{R},\forall x,y\in V:d(x,y) \leq D$

De verzameling van dergelijke getallen $D$ vormt een gesloten halve rechte, en het minimum van die rechte is de diameter van $V$.

Bovenstaande definitie maakt geen gebruik van de bijzondere vorm van de afstandsfunctie van de Euclidische ruimte, en gaat dus ongewijzigd over op willekeurige (pseudo-)metrische ruimten.

Begrensde functie

Een reële functie $f$ heet begrensd als haar waardebereik (beeld) een begrensde deelverzameling van $\mathbb{R}$ is, t.t.z. als er getallen $m<M$ bestaan zodat $\forall x:m \leq f(x) \leq M$. De kleinst mogelijk bovengrens $M$ heet supremum van $f$, de grootst mogelijke ondergrens $m$ is het infimum van $f$.

Deze definitie van begrensdheid gaan ongewijzigd over op willekeurige afbeeldingen tussen een verzameling $A$ en een (pseudo)metrische ruimte $X$.

Begrensde deelverzameling van een topologische vectorruimte

In een lokaal convexe topologische vectorruimte wordt de topologie voortgebracht door een scheidende familie seminormen. Elke seminorm brengt een pseudometriek $d(x,y)=\|x-y\|$ voort. In dergelijke ruimten zijn de volgende twee voorwaarden op een deelverzameling $A$ gelijkwaardig:

• $A$ is begrensd in elk van de pseudometrische ruimten afzonderlijk;
• Voor elke omgeving $V$ van de nulvector bestaat een schaalfactor $\alpha\in\mathbb{R}^+$ zodat $A\subset\alpha V$.

De tweede voorwaarde heeft nog zin in algemene topologische vectorruimten, en geldt daar als definitie van begrensdheid.

Begrensde lineaire operator

Een lineaire afbeelding $T:V\to W$ tussen twee topologische vectorruimten $V$ en $W$ (operator) heet begrensd als ze begrensde delen van $V$ afbeeldt op begrensde delen van $W$.

Als $V$ en $W$ Banachruimten zijn, dan is dit gelijkwaardig met de eis dat $T$ continu is. In het algemeen is elke continue lineaire operator begrensd, maar niet omgekeerd.

Essentieel begrensd

Als het domein van een functie de structuur van een maatruimte $(A,\mathcal{A},\mu)$ draagt, zijn we geïnteresseerd in de vraag of de functie begrensd is "op een nulverzameling na". Men noemt een functie $f:A\to\mathbb{C}$ essentieel begrensd als er een begrensde functie bestaat waaraan ze bijna overal gelijk is:

$\|f\|_\infty=\inf_{N\in\mathcal{A},\mu(N)=0}\sup_{\omega\in\Omega\setminus N}|f(\omega)|<\infty.$

Bovenstaande uitdrukking heet het essentieel supremum van $f$. Het is het supremum van de absolute waarde van $f$ op eventuele nulverzamelingen na. Equivalentieklassen van essentieel begrensde functies vormen de ruimte $L^\infty$ (zie Lp-ruimte).