Hoofdstelling van de integraalrekening

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De hoofdstelling van de integraalrekening is een stelling uit de wiskunde, die het verband tussen de begrippen afgeleide en integraal geeft. Het is een centraal resultaat van de integraalrekening (of ruimer: de reële analyse), vandaar de naam. De stelling zegt dat differentiëren en integreren elkaars omgekeerde bewerkingen zijn. De concrete formulering en het bewijs hangt af van de gekozen definities en de gebruikte notie van integratie. In dit artikel wordt de meest elementaire notie van integreren gebruikt: de Riemannintegraal.

Stelling[bewerken]

De hoofdstelling van de integraalrekening bestaat uit twee delen. Het eerste deel stelt dat de integraal van een functie een primitieve functie (ook stamfunctie of onbepaalde integraal) is en het tweede doet de omgekeerde uitspraak: een primitieve functie geeft de integraal van een functie, op een constante na. Meer precies:

Zij f:[a,b]\rightarrow\mathbb R een reële continue functie is op het interval [a,b] \subset \R, dan is voor alle x_0\in [a,b] de functie

F:[a,b]\rightarrow\mathbb R met F(x):=\int_{x_0}^{x}f(t){\rm d}t

afleidbaar, en een primitieve functie voor f, dat wil zeggen F^{\prime}(x)=f(x) voor alle x \in [a,b].

Het tweede deel van de stelling maakt duidelijk dat men de integraal van een functie kan berekenen aan de hand van een primitieve functie:

Zij f:[a,b]\rightarrow\mathbb R een continue functie met primitieve functie F:[a,b]\rightarrow\mathbb R, dan geldt:

\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x=F(b)-F(a).

Intuïtieve verklaring[bewerken]

Het blauw gearceerde gebied geeft de integraal A(x) van de functie f, tussen 0 en x. Het rode gebied is gelijk aan h f(x). Anderzijds is de oppervlakte ook ongeveer gelijk aan A(x+h)-A(x). Voor kleine h moet dus  h f(x)\approx A(x+h)-A(x).

Het is mogelijk de bovenstaande stellingen te zien op een tekening. Stel dat men een functie y=f(x) beschouwt. Men kan de oppervlakte onder de grafiek, boven het interval [0,x] noteren met A(x). Deze functie is dan de integraal van f. Het verschil A(x+h)-A(x) is dan de oppervlakte onder de grafiek, boven het interval [x,x+h]. Indien h klein is, is die oppervlakte ongeveer gelijk aan h f(x). Bijgevolg is dus

f(x) \approx \frac{A(x+h)-A(x)}{h}.

Indien nu h erg klein is, staat rechts ongeveer de afgeleide van A. In woorden: de afgeleide van de integraal is dus de oorspronkelijke functie f. Dat is de kern van de fundamentaalstelling.

Opmerking[bewerken]

Merk wel op dat de stamfunctie van de afgeleide van een functie op een constante na kan verschillen van de oorspronkelijke functie. De stamfunctie is immers niet uniek: als F een stamfunctie is van f, is F+c dat ook. Deze dubbelzinnigheid levert echter geen probleem op indien men het verschil neemt van twee waarden van een stamfunctie, zoals de uitdrukking F(b)-F(a). in de formulering van de stelling hierboven.

Bewijs[bewerken]

Indien men de begrippen afgeleiden en integraal heeft gedefinieerd, is het bewijs van de stelling niet zo moeilijk.

Om het eerste deel te bewijzen, moet men aantonen dat de afgeleide van  F(x), gegeven door \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}, bestaat en gelijk is aan f(x).

Kies eerst een vaste x\in [a,b] en een voldoende kleine h \neq 0 zodat x + h \in [a,b]. Dan geldt

\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \left(\int_{x_0}^{x+h} f(t)\,{\rm d}t - \int_{x_0}^x f(t)\,{\rm d}t \right) = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\,{\rm d}t .

Beschouw het object in het rechterlid hierboven. Omwille van de middelwaardestelling bestaat er een reëel getal \xi_h tussen x en x+h, zodat

\int_x^{x+h} f(t)\,{\rm d}t = h\cdot f(\xi_h).

Indien men nu h \to 0 laat gaan, moet \xi_h\to x en dus ook f(\xi_x)\to f(x) omwille van continuïteit van f. Bijgevolg is

\lim_{h\to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h\to 0} f(\xi_h) = f(x),

Dit betekent precies dat de afgeleide van F ter hoogte van x bestaat en gelijk is aan f(x).

Het bewijs van het tweede deel volgt snel uit het eerste. Stel dat men een stamfunctie F heeft. Omwille van het eerste deel is ook de functie F_a, gedefinieerd als

F_a:[a,b]\rightarrow\mathbb R met F_a(x):=\int_{a}^{x}f(t){\rm d}t

een stamfunctie. Bijgevolg zijn beiden (als stamfuncties van f) op een constante na gelijk: F_a(x)=F(x)+c voor een bepaald getal c. Bijgevolg is dan

F(b)-F(a)=F_a(b)-F_a(a)=\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x-\int_{a}^{a}f(x){\rm d}x=\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x

Wat het tweede deel van de stelling bewijst.

Toepassingen[bewerken]

Het berekenen van (bepaalde) integralen[bewerken]

De voornaamste toepassing van de hoofdstelling is het feit dat het berekenen van de oppervlakte onder een functie nu herleid is tot het zoeken van stamfuncties. Stel dat men bijvoorbeeld de oppervlakte onder de functie f(x) = x^2 wil kennen, zeg tussen de punten x=0 en x=2. Er zijn een aantal, omslachtige, manieren om die oppervlakte meetkundig te bepalen, maar dankzij de hoofdstelling weten we dat het voldoende is een primitieve van f te vinden. De functie F(x) = x^3/3 is een voorbeeld van een stamfunctie van f(x) = x^2.

Bijgevolg is

\int_0^2 x^2\,\mathrm dx = F(2) - F(0) = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac 8 3.

Integratieregels[bewerken]

Dankzij het verband met afleiden, kan men een aantal zeer nuttige rekenregels opstellen voor het uitvoeren van integralen. De productregel voor afleiden kan men met de hoofstelling vertalen naar de techniek van partiële integratie. Op gelijkaardige manier kan men de kettingregel gebruiken om de substitutieregel van integralen aan te tonen. Deze technieken laten toe om van een zeer breed gamma van functies de integraal te bepalen.

Externe links[bewerken]

Zie ook[bewerken]