Magisch vierkant

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een magisch vierkant of tovervierkant is een vierkant schema waarin getallen zodanig zijn ingevuld dat de kolommen, de rijen en de beide diagonalen alle dezelfde som opleveren. Deze som wordt de magische constante of het karakteristieke getal genoemd. Meestal eist men dat het vierkant de natuurlijke getallen van 1 tot en met n2 bevat. Het symbool n, dat de orde genoemd wordt, is hierin het aantal cellen in één zijde. Soms geldt die eis niet, maar dan eist men wel dat alle getallen verschillend zijn.

Voorbeelden[bewerken]

  • In dit vierkant van 3 bij 3 is de som steeds 15:
 8   3   4 
 1   5   9 
 6   7   2 
Bijvoorbeeld: 8 + 1 + 6 = 15, 1 + 5 + 9 = 15 en 6 + 5 + 4 = 15
  • In dit vierkant van 3 bij 3 zijn alle getallen priemgetallen en is de som steeds 177:
 101   5   71 
 29   59   89 
 47   113   17 

Melencolia[bewerken]

Melencolia I, 1514, gravure
Albrecht Dürer - Melencolia I (detail).jpg
"magisch vierkant", waarbij enkele getallen meer dan eens voorkomen, op de gevel van de Sagrada Familia

Een bekend magisch vierkant komt voor op de gravure Melencolia I (melancholie) van Albrecht Dürer uit 1514; het jaartal is verwerkt in het vierkant. Dit magisch vierkant is opmerkelijk omdat niet alleen de rijen, kolommen en diagonalen dezelfde som 34 hebben, maar onder meer ook: de vier hoekpunten; de vier middelste getallen; de blokken van 2x2 getallen in de linkerboven-, rechterboven-, linkerbeneden- of rechterbenedenhoek; de twee middelste getallen in de eerste en laatste kolom resp. in de bovenste en onderste rij. Zie schema hieronder en middelste afb.:

 16   3   2   13 
 5   10   11   8 
 9   6   7   12 
 4   15   14   1 

Onderverdeling[bewerken]

Er zijn verschillende types magische vierkanten;

  • pandiagonaal of panmagisch: bij deze vierkanten is ook de som van de subdiagonalen gelijk aan het karakteristiek getal
  • volkomen perfect magisch: bij deze vierkanten geldt dat binnen elk deelvierkant van \sqrt n bij \sqrt n de som der getallen gelijk is.
  • Franklin magisch vierkant, dat strikt genomen geen magisch vierkant is.
  • Multimagisch vierkant, een magisch vierkant dat magisch blijft als de getallen tot een bepaalde macht worden verheven.

Een magisch vierkant maken[bewerken]

Een klassieke methode om een magisch vierkant van willekeurige orde te maken, die echter niet de juiste diagonaalsommen heeft, is de methode van de la Hire.

Methoden voor elke oneven orde[bewerken]

  1. Beschouw het vierkant als een torus. Kom je ergens buiten de rand van het vierkant, dan ga je dus verder aan de andere kant.
  2. Zet het getal 1 in het midden van de bovenste rij.
  3. Zet elk volgend getal zo mogelijk (er zijn verschillende mogelijkheden):
    1. een rij hoger en een kolom naar rechts
    2. 2 rijen lager en een kolom naar rechts
  4. Kom je in een vakje waar al een getal staat, dan zet je het volgende getal onder het vorige getal.

Voorbeeld:

Zet het getal 1 in de middelste kolom op de hoogste rij. Het volgende getal wordt geplaatst, 2 rijen lager en 1 kolom naar rechts. Dit gaat verder tot je een getal wil plaatsen waar al een getal staat.

x x 1 x x Nu zou je de 6 op de plek van 1 moeten zetten,
4 x x x x maar dat gaat niet dus plaats je de 6 onder de 5.
x x x 2 x
x 5 x x x
x x x x 3


x  x 1 x 9
4  x 7 x x Waarna je weer doorgaat met 2 rijen lager en 1
10 x x 2 x kolom naar rechts tot je de 11 in de 6 wil zetten.
x  5 x 8 x Dan zet je de 11 onder de 10, enzovoorts.
x  6 x x 3

Dan krijg je uiteindelijk:

23 12  1 20  9
 4 18  7 21 15
10 24 13  2 16
11  5 19  8 22
17  6 25 14  3

Deze techniek werkt voor alle oneven vierkanten, behalve dat van 3 x 3. De Siamese methode of methode van De La Loubère is hieraan sterk verwant.

Orde is viervoud[bewerken]

  • diagonaalmethoden

De simpelste methode is het vierkant invullen met de opeenvolgende getallen van 1 tot N. Bij een 8x8 vierkant

 1  2  3  4  5  6  7  8 De normale wijze van nummering.
 9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64


64 63 62 61 60 59 58 57 De omgekeerde wijze van nummering.
56 55 54 53 52 51 50 49
48 47 46 45 44 43 42 41
40 39 38 37 36 35 34 33
32 31 30 29 28 27 26 25
24 23 22 21 20 19 18 17
16 15 14 13 12 11 10  9
 8  7  6  5  4  3  2  1

Dan neem je de normale wijze van invullen en laat je de nummers weg om een vierkante structuur te maken. Rekening houdend met het feit dat ieder weggelaten vierkant 2x2 is. Hierbij is het tevens belangrijk dat er geen gehele vierkanten tegen de rand van het vierkant aankomen. Dan krijg je bijvoorbeeld.

 1  x  x  4  5  x  x  8
 x 10 11  x  x 14 15  x
 x 18 19  x  x 22 23  x
25  x  x 28 29  x  x 32
33  x  x 36 37  x  x 40
 x 42 43  x  x 46 47  x
 x 50 51  x  x 54 55  x
57  x  x 60 61  x  x 64

Vervolgens vul je de x'en op met de ontbrekende getallen in omgekeerde volgorde, waardoor dit magisch vierkant ontstaat.

 1 63 62  4  5 59 58  8
56 10 11 53 52 14 15 49
48 18 19 45 44 22 23 41
25 39 38 28 29 35 34 32
33 31 30 36 37 27 26 40
24 42 43 21 20 46 47 17
16 50 51 13 12 54 55  9
57  7  6 60 61  3  2 64

Deze methode werkt voor alle veelvouden van 4.

Orde even maar geen viervoud[bewerken]

De "medjig"-methode (Willem Barink), voor alle even orden groter dan vier[bewerken]

Deze methode is toepasbaar voor alle even ordes groter dan vier. Je hebt daarbij de speeltegeltjes van de medjig-puzzel nodig. Dat zijn in vier kwadranten verdeelde vierkantjes, waarop met stippen de getallen 0, 1, 2 en 3 zijn weergegeven, in alle mogelijke volgorden. De puzzel bestaat uit 18 tegeltjes; alle 6 mogelijke volgorden zijn 3 maal aanwezig. Uiteraard is de puzzel gemakkelijk ook met wat huisvlijt, karton, schaar en viltstift zelf te maken. De volledige set bestaat uit drie keer de volgende zes tegeltjes.

Dice-0.png Dice-1.png Dice-0.png Dice-1.png Dice-0.png Dice-2.png Dice-0.png Dice-2.png Dice-0.png Dice-3.png Dice-0.png Dice-3.png
Dice-3.png Dice-2E.png Dice-2.png Dice-3E.png Dice-1.png Dice-3E.png Dice-3.png Dice-1.png Dice-1.png Dice-2E.png Dice-2.png Dice-1.png

Het construeren van een magisch vierkant van orde 6 gaat dan als volgt. Maak een willekeurige medjig-oplossing. Dat is een vierkant van 3 bij 3 tegeltjes waarin de som van de stippen in alle ontstane rijen, kolommen en diagonalen 9 is. Door de ruime keus aan benodigde volgorden is dit geen moeilijke opgave (bij het echte medjig-puzzelen moet je het met negen van tevoren uitgenomen speelvierkantjes doen, dan is het wel moeilijk). Neem het klassieke magische vierkant van orde 3 (zie boven) en breid het uit tot een vierkant van orde 6 door elk getal horizontaal en verticaal te dubbelen. Vermenigvuldig het medjig-vierkant met 9 en tel het op bij het gedubbelde klassieke magische vierkant. Oplossingen te kust en te keur. Zie onderstaand voorbeeld.

 8   8   3   3   4   4 
 8   8   3   3   4   4 
 1   1   5   5   9   9 
 1   1   5   5   9   9 
 6   6   7   7   2   2 
 6   6   7   7   2   2 

 + 9 *  
Dice-2E.png Dice-3.png Dice-0.png Dice-2.png Dice-0.png Dice-2.png
Dice-1.png Dice-0.png Dice-3.png Dice-1.png Dice-3.png Dice-1.png
Dice-3E.png Dice-1.png Dice-1.png Dice-2.png Dice-2E.png Dice-0.png
Dice-0.png Dice-2E.png Dice-0.png Dice-3E.png Dice-3.png Dice-1.png
Dice-3E.png Dice-2.png Dice-2E.png Dice-0.png Dice-0.png Dice-2.png
Dice-0.png Dice-1.png Dice-3.png Dice-1.png Dice-1.png Dice-3E.png

 = 
 26   35   3   21   4   22 
 17   8   30   12   31   13 
 28   10   14   23   27   9 
 1   19   5   32   36   18 
 33   24   25   7   2   20 
 6   15   34   16   11   29 

Op dezelfde manier kun je magische vierkanten van de orde 8 maken. Construeer daarbij eerst een medjig-oplossing van 4 bij 4 zodanig dat de som van de stippen in elke rij, kolom of diagonaal 12 is. Dit blijkt ook vrij eenvoudig te zijn. Breid nu een van de bekende magische vierkanten van de orde 4 modulo-16 uit naar 64. Evenzo orde 10. Construeer daarbij met twee setjes medjig-stenen eerst een medjig-oplossing van 5 bij 5.

Ook orde 12 is geen probleem. Je gaat daarbij uit van een magisch vierkant van orde 6 (wat je zojuist gemaakt hebt). Verdubbel horizontaal en verticaal een medjig-oplossing en breid modulo-36 uit volgens de ontstane medjig-matrix. Idem orde 16, enz.

Vermenigvuldiging[bewerken]

Gegeven: een magisch vierkant S1 van orde m1 en een magisch vierkant S2 van orde m2, een magisch vierkant van orde m1 * m2 is gegeven door:

S = S1 * S2 = (S1[i,j] - 1) * m22 + S2 (i,j = [0 .. m1-1])

Let wel hierboven staat een vierkant van orde m1 * m2, elk element van S1 wordt vermenigvuldigd met m22 en over een m2 bij m2 vierkant gekopieerd alvorens hier het vierkant S2 bij op te tellen.

(tevens 1 is alleen af te trekken als S1 in de gebruikelijke nummerbereik [1..m12] staat, momenteel gebruik ik meer het "analytisch" bereik [0..m12-1])

Veel kwalificaties blijken invariant onder vermenigvuldiging. Zo kan men twee perfecte vierkanten met elkaar vermenigvuldigen naar een perfect vierkant, waarbij de diverse blokken vrij willekeurig kunnen worden verdraaid. Hetwelk onderdeel uitmaakt van een uitgebreidere vermenigvuldigingsformule, waarmee menig "compounding" methode is te beschrijven. Uitgebreidere info op de website http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia (sectie m: "multiplication")

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]