Ontsnappingssnelheid

Het kanon van Newton

De ontsnappingssnelheid van een hemellichaam (bijvoorbeeld een planeet) is de minimale snelheid waarmee een niet-aangedreven voorwerp vanaf dat hemellichaam zou moeten worden weggeschoten (onder ideale theoretische condities, geen wrijving van de atmosfeer, geen invloed van andere hemellichamen) zodat het tot in het oneindige van dat hemellichaam af blijft bewegen en niet naar het hemellichaam terugvalt. Niet-aangedreven is hierbij cruciaal: mét aandrijving is theoretisch geen minimale snelheid nodig.

Een andere, mathematisch equivalente, formulering is dat de ontsnappingssnelheid de snelheid is waarmee een voorwerp, van oneindig hoog vallend, op het oppervlak zou botsen. De beginsnelheid (in het oneindige) moet dan nul zijn, en er moet ook aangenomen worden dat er geen luchtwrijving en dergelijk optreedt.

Met deze formulering kan de ontsnappingssnelheid v berekend worden, want het voorwerp, met massa m, komt op het oppervlak van het hemellichaam aan met een kinetische energie:

$E_{kin}=\frac{1}{2}mv^2$

Dit is de omgezette potentiële energie:

$E_{pot}=\int_{R}^{\infty}F(r)dr=\int_{R}^{\infty} \frac{GmM}{r^2}dr=\frac{GmM}{R}$

Met het gelijkstellen van kinetische en potentiële energie volgt nu:

$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

en met substitutie van de formule voor de zwaartekrachtversnelling aan het oppervlak

$g = G \cdot \frac{M}{R^2}$

volgt hieruit

$v=\sqrt{2gR}$

waarbij G de gravitatieconstante, M de massa van het hemellichaam, R de straal en g de zwaartekrachtsversnelling aan het oppervlak is.

Voor de Aarde is de ontsnappingssnelheid ongeveer 11,2 km/s (ongeveer 40.000 km/h), voor de maan 2,38 km/s, voor de planeet Jupiter 59,5 km/s, voor de Zon 600 km/s, maar voor een zwart gat is zelfs de lichtsnelheid niet genoeg (vandaar dat het zwart is; er ontsnapt immers geen licht).

Bij gebruik van raketten zijn de omstandigheden zodanig anders (meestal wel wrijving in een atmosfeer, geen versnelling in een enkel moment maar gedurende een periode (dus aandrijving), verandering van massa van de raket tijdens het branden van de motor, invloed van de rotatie van het hemellichaam) dat de ontsnappingssnelheid niet meer dan een ruwe indicator is van de voor het ontsnappen benodigde energie. Ook bij het gebruik van elektromagnetisch katapult is er geen sprake van niet-aangedreven voorwerpen.

Meer algemeen kan men de ontsnappingssnelheid op een bepaalde afstand beschouwen. Deze is $\scriptstyle\sqrt{2}$ maal de omloopsnelheid bij een cirkelbaan. Zo is ter hoogte van de Aarde de ontsnappingssnelheid van de Zon 42,1 km/s.

Gecombineerde ontsnappingssnelheid

Bij bijvoorbeeld het verlaten van het zonnestelsel met vertrek vanaf de Aarde kan men de vraag stellen wat de minimale snelheid is waarmee een niet-aangedreven voorwerp zou moeten worden weggeschoten (onder ideale theoretische condities, geen wrijving van de atmosfeer, geen invloed van andere hemellichamen dan de Aarde en de Zon) zodat het tot in het oneindige van het zonnestelsel af blijft bewegen en niet terugvalt.

Als de Aarde stil zou staan ten opzichte van de Zon dan zou deze "gecombineerde ontsnappingssnelheid" berekend kunnen worden door de totale energie van een derde object op nul te stellen, de kinetische energie zou dus gelijk moeten zijn aan de benodigde toename (van een negatieve waarde tot nul) van de totale potentiële energie van het object. Dit valt te berekenen als de wortel uit de som van de kwadraten van de afzonderlijke ontsnappingssnelheden: $\scriptstyle\sqrt{11,2^2\ +\ 42,1^2}$ oftewel 43,6 km/s.

Als dit ook zou gelden bij de werkelijke situatie, waarbij de Aarde een baansnelheid van 29,8 km/s om de Zon heeft, dan zou, als het object wordt gelanceerd in de richting waarin de Aarde in zijn baan om de Zon beweegt, slechts een relatieve snelheid ten opzichte van de Aarde van 43,6 - 29,8 = 13,8 km/s nodig zijn.

Bij bewegende lichamen is het echter gecompliceerder; dat het bovenstaande dan niet geldt wordt al gesuggereerd door het feit dat als de baansnelheid van de Aarde lager zou zijn, de uitkomst lager zou kunnen worden dan de ontsnappingssnelheid zonder Zon. Als een object zich van de Aarde af beweegt in dezelfde richting als de Aarde beweegt dan verbruikt het object niet alleen kinetische energie voor het vergroten van de afstand tot de Aarde (en de Zon), dus voor omzetting in potentiële energie, maar wordt ook kinetische energie van het object overgeheveld naar de Aarde (de Aarde wordt versneld doordat het object haar aantrekt, zie ook kinetische energie). Hierbij vloeit een deel van de kinetische energie die bij lancering is overgeheveld van de Aarde naar het object weer terug. De versnelling van de Aarde is zeer klein doordat de massa van de Aarde zeer veel groter is dan die van het object. De daarmee gemoeide energie is echter significant ten opzichte van de energie van het object in een inertiaalstelsel waarin de Aarde al snelheid heeft (echter niet in een stelsel waarin de Aarde uit stilstand een kleine snelheid krijgt).

De benodigde snelheid ten opzichte van de Zon is dus hoger dan 43,6 km/s als het object wordt gelanceerd in de richting waarin de Aarde in zijn baan om de Zon beweegt. Het voordeel dat de benodigde snelheid ten opzichte van de Aarde lager is dan ten opzichte van de Zon omdat de baansnelheid van de Aarde van 29,8 km/s er vanaf gaat, wordt slechts gedeeltelijk te niet gedaan.

Externe links

• Meer informatie over ontsnappingssnelheid, persoonlijke website
• Web-gebaseerde berekeningstool om ontsnappingssnelheid te bepalen

Voetnoot