Afgeknotte piramide

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Afgeknotte piramide
Pentagonal frustum.svg
Vlakken n trapezia
2 regelmatige n-hoeken
Zijden n+2
Hoekpunten 2n
Ribben 3n
Zijvlakken per hoekpunt 3
Ribben per zijvlak 4 of n
Symmetriegroep Cnv
Eigenschappen Convex
Duale vorm geen
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

Een afgeknotte piramide of frustum (meervoud : frusta) is een meetkundig lichaam dat ontstaat door een piramide af te knotten, dat wil zeggen van de piramide een gelijkvormig gedeelte af te snijden met een vlak tussen de top en het grondvlak en evenwijdig daarmee.

De vorm vindt wel toepassing soms in de bouwkunde en de architectuur.

Eigenschappen[bewerken]

Volume[bewerken]

Het volume van een afgeknotte piramide werd al bepaald door de Egyptenaren. In de Moskou-papyrus staat het volgende: "Als u wordt verteld: een afgeknotte piramide met een verticale hoogte van 6, een basis van 4 en de basis op de top van 2, dan moet U 4 in het kwadraat nemen, dat is 16. Vermenigvuldig dan 2 en 4, dat is 8. Dan neemt U het kwadraat van 2, dat geeft 4. Vervolgens moet u de 16, de 8 en de 4 bij elkaar optellen, dat resulteert in 28. Van de verticale basis (6) moet U één derde nemen, dat geeft 2. Als laatste stap neemt u 28 keer 2, dat geeft 56. Ziehier het resultaat."

En inderdaad: dit klopt. Er wordt uitgegaan van een vierkant grondvlak met zijde , een bovenvlak met zijde en een hoogte . De gebruikte formule is:

Het volume van de afgeknotte piramide is het verschil in volume van de oorspronkelijke piramide en het afgesneden gedeelte:

Daarin zijn en de oppervlakten van respectievelijk het onder- (grotere) en het bovenvlak (kleinere), en en de loodrechte hoogtes van de top van de oorspronkelijke piramide tot deze vlakken.

Een alternatieve formule verkrijgt men door de hoogte van de afgeknotte piramide te noemen, dat is de loodrechte afstand tussen het bovenvlak en het grondvlak. Dan is en er geldt:

,

zodat:

Zie ook[bewerken]