Afgeknotte piramide

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Afgeknotte piramide
Pentagonal frustum.svg
Vlakken n trapezia
2 regelmatige n-hoeken
Zijden n+2
Hoekpunten 2n
Ribben 3n
Zijvlakken per hoekpunt 3
Ribben per zijvlak 4 of n
Symmetriegroep Cnv
Eigenschappen Convex
Duale vorm geen
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

Een afgeknotte piramide of frustum (meervoud : frusta) is een meetkundig lichaam dat ontstaat door een piramide tussen twee evenwijdige vlakken te snijden.

De vorm wordt soms in de bouwkunde en architectuur benut.

Formules[bewerken]

Volume[bewerken]

Het volume van een afgeknotte piramide werd al bepaald door de Egyptenaren. Zij beweerden het volgende : "Als u wordt verteld : een afgeknotte piramide met een verticale hoogte van 6, een basis van 4 en de basis op te top van 2, dan moet U 4 in het kwadraat nemen, dat is 16. Vervolgens neem je het dubbele van 4, dat is 8. Dan neemt U het kwadraat van 2, dat geeft 4. Vervolgens moet u de 16, de 8 en de 4 bij elkaar optellen, dat resulteert in 28. Van de verticale basis (6) moet U één derde nemen, dat geeft 2. Als laatste stap neemt u 28 keer 2, dat geeft 56. Ziehier het resultaat."

En inderdaad : dit klopt. Zodanig hebben de moderne wiskundigen een wiskundige formule opgesteld voor het berekenen van het volume van de afgeknotte piramide :

waarin en de loodrechte hoogtes zijn van de top tot respectievelijk de korte en de lange basis, en zijn de oppervlakten van boven- en ondervlak.


Laat nu de hoogte van de afgeknotte piramide zijn, dat is de loodrechte afstand tussen het bovenvlak en het grondvlak (de loodrechte afstand tussen de beide evenwijdige vlakken dus). Beschouw nu en , dan krijgt men een alternatieve formule voor het volume :

Oppervlakte[bewerken]

De oppervlakte van een afgeknotte piramide is de verzameling van de oppervlaktes van alle vlakken : het grondvlak, de zijvlakken (altijd een trapezium) en het bovenvlak.

Zie ook[bewerken]