Duaal veelvlak

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Ruimtelijke voorstelling van de dualiteit tussen de kubus en de octaëder.

In de ruimtemeetkunde worden twee typen veelvlakken elkaars duale veelvlakken genoemd, als van een veelvlak van het ene type de middelpunten van de zijvlakken de hoekpunten van een veelvlak van het andere type vormen, en omgekeerd.

Daarbij worden twee veelvlakken slechts van hetzelfde type genoemd als ze behoudens uniforme verschaling en een directe isometrie identiek zijn (dus als ze direct gelijkvormig zijn).

De twee ruimtelijke figuren zijn bijgevolg erg verwant met elkaar; een voorbeeld is de kubus met als duaal veelvlak de octaëder.

De vijf platonische lichamen vormen twee duale paren en een zelf-duaal veelvlak. De vier Kepler-Poinsot-lichamen vormen twee duale paren. De Catalan-lichamen zijn de dualen van de archimedische lichamen. De Johnson-lichamen hebben niet allemaal een duale, de driehoekige koepel bijvoorbeeld niet. De duale van een recht prisma met een regelmatige veelhoek als grondvlak is een bipiramide.

Wiskundige dualiteit wordt soms ook reciprociteit of polariteit genoemd.

Constructie[bewerken]

Voor een uniform veelvlak kan een zijde van het duale veelvlak gevonden worden met behulp van de zogeheten Dorman-Luke-constructie. Aan de hand van het volgende voorbeeld wordt dit verduidelijkt.

De zijde van de rombische dodecaëder, de duale vorm van dekuboctaëder, wordt als volgt geconstrueerd.

DormanLuke.png


  • De middens A, B, C en D van de ribben rondom één hoekpunt van het veelvlak worden met elkaar verbonden. De ontstane figuur ABCD is een vlakke figuur.
  • Construeer de omgeschreven cirkel van ABCD.
  • Trek de raaklijnen aan deze cirkel in de punten A, B, C en D.
  • De raaklijnen snijden elkaar in de punten E, F, G en H .
  • De figuur EFGH is een nieuwe vlakke figuur.
  • Deze figuur vormt een zijvlak van het duale veelvlak.

Zelf-duale veelvlakken[bewerken]

Een tetraëder is zelf-duaal.

Sommige veelvlakken, zoals de tetraëder, hebben geen echte duale vorm, maar zijn zelfduaal. Dit impliceert dat de teraëder een duale vorm van zichzelf is. Dit wil echter niet zeggen dat deze figuur exact dezelfde is: de duale vorm van een teraëder is inderdaad opnieuw een teraëder, maar de figuur is omgekeerd.

Zelfduale veelvlakken hebben de eigenschap dat ze evenveel hoekpunten als zijvlakken bevatten, zoals de verschillende soorten piramiden.

Externe link[bewerken]