Regelmatig veelvlak

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De vijf regelmatige veelvlakken: vier-, zes-, acht-, twaalf- en twintigvlak. De hoekpunten hebben steeds dezelfde afstand tot het middelpunt, zodat de vijf aan hetzelfde boloppervlak raken.
Keplers model van de platonische lichamen (afbeelding uit 1596).

Een regelmatig veelvlak of platonisch lichaam is een veelvlak waarvan de zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn. Bovendien zijn alle hoeken tussen de vlakken onderling gelijk.

De kubus is het bekendste voorbeeld.

Geschiedenis[bewerken]

De regelmatige veelvlakken worden sinds de Romantiek ook wel platonische lichamen genoemd, omdat ze voor het eerst door Plato zijn beschreven. Pythagoras wist in 520 v.Chr. al van het bestaan van drie van de vijf regelmatige veelvlakken af: het viervlak, het zesvlak (kubus) en het twaalfvlak. Plato bracht de vijf regelmatige veelvlakken in verband met de vijf kosmische bouwstenen van de wereld: vuur, lucht, water, aarde en hemelmaterie. Kepler bracht ze twee millennia later – in de tussentijd waren de halfregelmatige veelvlakken al ontdekt – in verband met de structuur van het zonnestelsel. In die tijd waren behalve de Aarde slechts vijf planeten bekend.

Kenmerken[bewerken]

Een kenmerk van een regelmatig veelvlak is dat in elk hoekpunt even veel vlakken samenkomen. Hierbij zijn drie, vier of vijf vlakken mogelijk. Het aantal hoekpunten van een veelvlak is gelijk aan het aantal vlakken maal het aantal zijden per vlak gedeeld door het aantal zijvlakken dat in een hoekpunt samenkomt. Het aantal ribben van een veelvlak (regelmatig of niet) is gelijk aan het aantal zijden per vlak maal de helft van het aantal zijvlakken (want elke ribbe wordt gedeeld door de twee aangrenzende vlakken).

De wiskundige Leonhard Euler stelde al in de 18e eeuw vast dat voor elk veelvlak (regelmatig of niet) het aantal zijvlakken plus het aantal hoekpunten gelijk is aan het aantal ribben plus twee.

Het aantal verschillende regelmatige veelvlakken dat we kunnen maken, is beperkt. Ze staan alle in de volgende tabel:

Griekse benaming Nederlandse benaming zijden per vlak (z) vlakken per hoekpunt (h) vlakken (v) ribben (r) hoekpunten (p)
tetrahedron tetraëder of viervlak 3 3 4 6 4
octahedron octaëder of achtvlak 3 4 8 12 6
icosahedron icosaëder of twintigvlak 3 5 20 30 12
hexahedron hexaëder of kubus 4 3 6 12 8
dodecahedron dodecaëder of twaalfvlak 5 3 12 30 20

Het verband tussen v, z en h wordt gegeven door de formule:

v = \cfrac{2}{1 - z \times \left (\cfrac{1}{2} - \cfrac{1}{h} \right )}\, = \cfrac{4h}{2(h+z) - zh}\,

Deze formule wordt verkregen uit de onderstaande 3 vergelijkingen (r = aantal ribben, p = aantal hoekpunten):

v = r - p + 2\, (a)
r = \cfrac{v \times z}{2}\, (b)
p = \cfrac{v \times z}{h}\, (c)

Vervang in (a) r door (b) en p door (c). Na vereenvoudiging levert dat de bovengenoemde formule voor v op.

Onderlinge relatie[bewerken]

Er is een zekere relatie tussen de regelmatige veelvlakken:

Verbindt men de middens van de zijvlakken van een veelvlak met elkaar, dan vormen de verbindingslijnen de ribben van een ander veelvlak. Een kubus wordt een achtvlak en omgekeerd. Een twaalfvlak wordt een twintigvlak en omgekeerd. Een viervlak wordt opnieuw een viervlak.

Kiest men vier hoekpunten van een kubus, zodanig dat geen twee hoekpunten op dezelfde ribbe van de kubus liggen, en verbindt men ze met elkaar, dan vormen de verbindingslijnen de ribben van een regelmatig viervlak.

Aantal verschillende veelvlakken[bewerken]

Euclides wist al dat dit de enige mogelijke regelmatige veelvlakken waren. Dit valt in te zien met het volgende bewijs:

Een regelmatig veelvlak wordt volledig bepaald door het soort van regelmatige veelhoek en het aantal van die veelhoeken, dat in een hoekpunt bij elkaar komt. Bovendien moeten de hoeken die in 1 hoek samenkomen samen minder dan 360° zijn. Dit kunnen 3 driehoeken (3×60°=180°), 4 driehoeken (240°) of 5 driehoeken (300°) zijn, maar niet meer. Evenzo kunnen het 3 vierkanten (3×90°=270°) of 3 vijfhoeken (3×108°=324°) zijn. Niet mogelijk zijn 4 vierkanten (4×90°=360°) en alle veelhoeken met zes (3 zeshoeken: 3×120°=360°) of meer hoeken.

Er zijn ontaarde regelmatige veelvlakken denkbaar:

  • Komen er in elk hoekpunt slechts twee vlakken samen, dan ontstaat er een regelmatig tweevlak. Een regelmatig tweevlak bestaat uit twee identieke veelhoeken die op elkaar zijn geplakt. De inhoud is nul.
  • Laat men in elk hoekpunt zes driehoeken, vier vierkanten of drie zeshoeken samen komen, dan ontstaat er een vlakvulling, die men kan zien als een regelmatig oneindigvlak.