Archimedisch lichaam

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een archimedisch lichaam of archimedisch veelvlak is een halfregelmatig veelvlak dat niet zelfdoorsnijdend of samengesteld is, de zijvlakken ervan zijn niet allemaal congruent en het zijn geen prisma's of antiprisma's. Ze zijn zoals alle halfregelmatige veelvlakken convex en hoekpunttransitief.

Ze bestaan gegeven deze definitie uit twee of meer soorten regelmatige veelhoeken, waarbij zijvlakken met hetzelfde aantal hoeken congruent zijn. Ze verschillen van de regelmatige veelvlakken, aangezien die uit slechts één soort regelmatige veelhoek zijn opgebouwd, en ook van de johnsonlichamen, die niet hoekpunttransitief zijn.

De archimedische veelvlakken kunnen allemaal via wythoff-constructies uit de regelmatige veelvlakken met tetraëder-, octaëder- of icosaëder-symmetrie worden opgebouwd.

De duale vormen van de archimedische lichamen zijn de catalanlichamen, die omgekeerd aan de archimedische lichamen wel zijvlaktransitief, maar niet hoekpunttransitief zijn.

Geschiedenis van de naam[bewerken | brontekst bewerken]

De naam archimedisch lichaam is afgeleid van de Griek Archimedes, die gedetailleerd de meetkunde van deze lichamen beschreef. De belangstelling voor deze 'pure vorm van meetkunde' herleefde in de renaissance. Verscheidene wiskundigen herontdekten deze vormen en Johannes Kepler rondde omstreeks 1620 het werk af. Kepler definieerde de prisma's, de antiprisma's en de kepler-poinsot-lichamen, die niet convex zijn.

Classificatie[bewerken | brontekst bewerken]

Er zijn 13 archimedische lichamen en 15 als de spiegelbeelden van twee chirale vormen erbij worden geteld. Dit geldt voor de stompe kubus en de stompe dodecaëder, wat wil zeggen dat ze in een linksdraaiende vorm en een rechtsdraaiende vorm bestaan. Voorwerpen die in verschillende vormen kunnen bestaan die elkaars ruimtelijk spiegelbeeld zijn worden enantiomorf genoemd. In de scheikunde komt dit verschijnsel ook voor.

In onderstaande tabel verwijst de hoekpuntconfiguratie naar de soorten regelmatige veelvlakken die in een bepaald hoekpunt samenkomen. Bijvoorbeeld: een hoekpuntconfiguratie van (4,6,8) betekent dat een vierkant, een zeshoek en een achthoek in een hoekpunt samenkomen. Bij (4,6,8) en (4,6,10) zijn er twee volgordes, voor de helft van de hoekpunten geldt de genoemde volgorde met de klok mee en voor de helft tegen de klok in.

De kuboctaëder (3.4.3.4) en de icosidodecaëder (3.5.3.5) zijn ook ribbetransitief.


Nummer Naam
hoekpuntconfiguratie
Afbeelding Openvouwing Vlakken Soort
vlakken
Ribben Hoekpunten Symmetriegroep
1 afgeknotte tetraëder
(3.6.6)
Truncated tetrahedron
animatie
Truncated tetrahedron flat.svg 8 4 driehoeken
4 zeshoeken
18 12 Td
2 kuboctaëder
(3.4.3.4)
Cuboctahedron
animatie
Cuboctahedron flat.svg  14  8 driehoeken
6 vierkanten
24 12 Oh
3 afgeknotte kubus
(3.8.8)
Truncated hexahedron
animatie
Truncated hexahedron flat.svg 14 8 driehoeken
6 achthoeken
36 24 Oh
4 afgeknotte octaëder
(4.6.6)
Truncated octahedron
animatie
Truncated octahedron flat.png 14 6 vierkanten
8 zeshoeken
36 24 Oh
5 romboëdrische kuboctaëder
of kleine rombische kuboctaëder
(3.4.4.4)
Rhombicuboctahedron
animatie
Rhombicuboctahedron flat.png 26 8 driehoeken
18 vierkanten
48 24 Oh
6 grote rombische kuboctaëder
(4.6.8)
Truncated cuboctahedron
animatie
Truncated cuboctahedron flat.svg 26 12 vierkanten
8 zeshoeken
6 achthoeken
72 48 Oh
7 stompe kubus
of stompe hexaëder
2 chirale vormen
(3.3.3.3.4)
Snub hexahedron (Ccw)
animatie
Snub hexahedron (Cw)
animatie
Snub cube flat.svg 38 32 driehoeken
6 vierkanten
60 24 O
8 icosidodecaëder
(3.5.3.5)
Icosidodecahedron
animatie
Icosidodecahedron flat.svg 32 20 driehoeken
12 vijfhoeken
60 30 Ih
9 afgeknotte dodecaëder
(3.10.10)
Truncated dodecahedron
animatie
Truncated dodecahedron flat.png 32 20 driehoeken
12 tienhoeken
90 60 Ih
10 afgeknotte icosaëder
(5.6.6)
Truncated icosahedron
animatie
Truncated icosahedron flat-2.svg 32 12 vijfhoeken
20 zeshoeken
90 60 Ih
11 rombische icosidodecaëder
(3.4.5.4)
Rhombicosidodecahedron
animatie
Rhombicosidodecahedron flat.png 62 20 driehoeken
30 vierkanten
12 vijfhoeken
120 60 Ih
12 afgeknotte icosidodecaëder
of grote rombische icosidodecaëder
(4.6.10)
Truncated icosidodecahedron
animatie
Truncated icosidodecahedron flat.svg 62 30 vierkanten
20 zeshoeken
12 tienhoeken
180 120 Ih
13 stompe dodecaëder
of afgeknotte icosidodecaëder
2 chirale vormen
(3.3.3.3.5)
Snub dodecahedron (Ccw)
animatie
Snub dodecahedron (Cw)
animatie
Snub dodecahedron flat.svg 92 80 driehoeken
12 vijfhoeken
150 60 I

Betegelingen[bewerken | brontekst bewerken]

Het is met alleen de afgeknotte octaëder, net zoals met alleen de kubus of de rombische dodecaëder, mogelijk ze zonder ruimteverlies in de ruimte te stapelen. Wanneer het is toegestaan verschillende archimedische lichamen en regelmatige veelvlakken te combineren, waarbij nog de voorwaarde geldt dat gelijkvormige veelvlakken ook congruent zijn, dan is dat met de vijf andere archimedische lichamen in de volgorde hierboven gegeven van de eerste zes al mogelijk.

Websites[bewerken | brontekst bewerken]