Eindige-elementenmethode

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De eindige-elementenmethode (e.e.m.) is een rekenmethode waarmee partiële differentiaalvergelijkingen en integraalvergelijkingen benaderends kunnen worden opgelost. Belangrijke toepassingen hiervan vindt men in de ingenieurswetenschappen, waar men deze methode bijvoorbeeld gebruikt om de sterkte-eigenschappen van ingewikkelde constructies te berekenen. De methode is ontwikkeld, omdat analytische rekenmethoden onvoldoende mogelijkheden bieden, of te complexe berekeningen vergen. De methode vindt zijn toepassing bij sterkteberekeningen, maar ook bij elektromagnetisme, warmteleer, stromingsleer en nog vele andere disciplines.

Wiskundig kan worden aangetoond dat bij het verkleinen van de elementen, de oplossing die met de e.e.m. wordt bereikt, nadert tot de analytisch juiste oplossing (convergentie). Wel kunnen bij onjuiste modellering fouten worden gemaakt die ernstige gevolgen kunnen hebben.

Toepassingen[bewerken | brontekst bewerken]

Voorbeeld van een eindige-elementenberekening. Een thermo-mechanisch probleem: een blokje metaal wordt vooral in het centrum verhit en gekoeld via kleine koelkanaaltjes.
1 Het "maken" (programmeren) van een model,
2 Het rekenprogramma verdeelt het model in kleine elementjes.
3 Na het aanbrengen van thermische belasting en de koeling berekent het programma de temperatuurverdeling in °C) en
4 mechanische spanningen in MPa)
5 De vervorming wordt overdreven weergegeven.

De methode wordt met name ingezet in de werktuigbouwkunde, maar vindt ook toepassing in de luchtvaartindustrie, de ruimtevaart, de scheepvaart, de weg- en waterbouwkunde en in de sterkteleer in het algemeen. Met de eindige-elementenmethode kan bijvoorbeeld het gewicht van een constructie worden geoptimaliseerd, hetgeen een groot effect kan hebben op de kosten of de omvang van de constructie.

Er zijn vele types berekening:

  • lineaire statische sterkteberekeningen (het meest gebruikte type berekening)
  • Niet-lineaire berekeningen, waarbij ook plastisch gedrag wordt meeberekend
  • eigenfrequentiebepaling
  • thermische berekening
  • knikberekening
  • schok (tijdafhankelijke berekening)
  • elektrostatische en -dynamische berekeningen
  • combinaties van bovengenoemde (multiphysics)

Werking van de methode[bewerken | brontekst bewerken]

In de eindige-elementenmethode deelt degene die de berekeningen doet, een constructie op in een (eindig) aantal elementen, en koppelt deze elementen aan elkaar door middel van knooppunten (nodes). Aan deze koppelingen wordt, afhankelijk van het soort element, een aantal eisen (randvoorwaarden) gesteld. In elk geval moeten de nodes van de elementen zich tegelijk met elkaar verplaatsen, want anders zou er een gat in de constructie ontstaan. Het bepalen van de knooppunten en koppelingen komt overeen met het bepalen van een rooster.

Door deze methodiek is het mogelijk het gedrag van een complexe constructie te benaderen door middel van een matrixvergelijking.

In het geval van een lineair statische berekening is de matrixvergelijking:

Daarbij is de stijfheidsmatrix voor het gehele systeem, de verplaatsingen van de knooppunten in de afzonderlijke richtingen en de belastingen (krachten / momenten) op de knooppunten in alle richtingen.

Het doel is de verplaatsingsvector te bepalen, en daaruit de spanningen en rekken, waaruit dan de sterkte van de constructie bij belasting volgt.

Om een nauwkeurige berekening te doen, moeten de elementen voldoende klein gekozen worden. Daardoor worden de rekenmodellen over het algemeen wel groot.

Types elementen[bewerken | brontekst bewerken]

De elementen die gebruikt worden in deze methoden, zijn, al naargelang het aantal dimensies (D):

  • (1D) Staafelementen
  • (2D) Oppervlakte-elementen (driehoekig of met vier hoekpunten)
  • (3D) Volume-elementen (tetraëder of kubus)

Elk element krijgt op basis van de getekende geometrie, de (niet getekende) geometrische parameters als plaatdikte, doorsnede, en het gebruikte materiaal, de stijfheidseigenschappen toegewezen. Bij het uitvoeren van een dynamische berekening is het nodig ook massaeigenschappen toe te wijzen of zelfs de demping, in het geval van gedwongen trillingen. Bij een thermische berekening moeten uiteraard de thermische eigenschappen worden toegewezen.

In het algemeen bieden 2D-elementen (2D-modellen) grote voordelen vanwege de korte rekentijd. Dan dienen echter geometrie, randvoorwaarden en belastingen tweedimensionaal te zijn. Het probleem mag zowel prismatisch als axiaalsymmetrisch zijn.

Er wordt verder onderscheid gemaakt tussen zogenaamde H-elementen en P-elementen:

  • H-elementen hebben een vaste instelling voor de verplaatsingsfunctie (bijv 1e-, 2e-, 3e-orde polynoom), door de gebruiker ingesteld. Hogere rekennauwkeurigheid wordt verkregen door fijnere mazen, d.w.z. kleinere elementen, te genereren.
  • De P-methode heeft een variabele polynoom en kent complexere elementvormen. Hogere nauwkeurigheid wordt bereikt door de graad van de polynoom te vergroten.

Het meest toegepast wordt de H-methode om historische reden. De P-methode is gebruiksvriendelijker, maar vroeger had men nog niet de rekenkracht om deze methode tot standaard te maken.

Geschiedenis[bewerken | brontekst bewerken]

De methodiek is ontstaan omstreeks 1940, al voordat computers bestonden. Sinds de intrede van de PC heeft de eindige-elementenmethode (In het Engels: "Finite Element Method" (FEM) / of "Finite Element Analysis") een grote vlucht genomen. En ook ontwikkelingen in de ruimtevaart hebben de eindige-elementenmethode een boost gegeven. In de ruimtevaart was de nood hoog om vooraf al globaal te bepalen of een constructie zou voldoen aan de sterkte- en stijfheidseisen. Het eerste grote eindige-elementenpakket was dan ook NASTRAN (NAsa STRuctural ANalysis). Ook de koppeling aan een 3D computer-aided design (CAD) pakket biedt grote voordelen: het moeizame opbouwen van geometrie is niet meer nodig, waardoor snel de invloed van ontwerpwijzigingen op de resultaten (spanningen / resonantiefrequenties / temperaturen / verplaatsingen / doorbuiging) kan worden bepaald. Dit noemt men isogeometrische analyse.

Problemen[bewerken | brontekst bewerken]

Vooral een juiste bepaling van de belasting die op de structuur of het onderdeel inwerkt, is cruciaal voor de betrouwbaarheid van een berekening. Daarbij worden wel benaderingen gemaakt, bijvoorbeeld bij aannames over de maximale:

  • windkracht op een hoog gebouw
  • kracht van een aardbeving
  • belasting van een brug door personen, trein of ander zwaar voertuig
  • krachten op een vliegtuigvleugel in omstandigheden zoals onweer.

De nacontrole (post-processing) is evenzeer van cruciaal belang. Dit is het proces waarin de gebruiker de eindige-elementenmethode-berekening controleert op een aantal cruciale punten. Zo moeten bijvoorbeeld de gevonden reactiekrachten gelijk zijn aan de totaal aangebrachte belasting. Ook het handmatig op enkele punten controleren van de berekende spanningen behoort standaard tot de controles. Ook moet gecontroleerd worden of onvolkomenheden van de software/elementen de berekening beïnvloed hebben. De elementverdeling kan b.v. te grof zijn om een goede indicatie van spanningsconcentraties te krijgen.

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

In het onderstaande voorbeeld werden de normaalkrachten in een constructie bepaald. De elementen bestaan uit lijnvormige delen in een vakwerk-constructie, zoals die wel in hijskranen wordt toegepast.

Eindige elementen vakwerk.png

Software[bewerken | brontekst bewerken]

Voor de berekeningen is specifieke software nodig. Er bestaan vele commerciële- en ook enkele open source pakketten.

Software Toepassing Ontwikkelaar Versie Gestart Licentie Commercieel

Vrij gebruik

Studentenversie

Platform
Agros2D Multiplatform open-source-applicatie voor oplossingen van fysische problemen gebaseerd op de Herms-bibliotheek. University of West Bohemia 3.2 2014-03-03 GNU GPL Vrij Linux, Windows
CalculiX Dit is een Open Source FEA project. De "solver" gebruik gedeeltelijk compatibele ABAQUS bestandsformaat. De pre/post-processor genereert inputdata voor veel FEA- en CFD-applicaties. Guido Dhondt, Klaus Wittig 2.16 2019-11-24 GNU GPL Vrij Linux, Windows
DIANA FEA Algemeen bruikbaar eindig-elementenpakket voor civiele, structurele en geotechnische engineering. DIANA FEA BV, (Nederland) 10.1 2016-11-14 Proprietary commercial software commercieel Windows, Linux
deal.II Bevat een set tools voor eindige-elementenberekeningen op laptops tot geclusterde servers. Geschreven in C++ Wolfgang Bangerth, Timo Heister, Guido Kanschat, Matthias Maier et al. 9.0 2018-05-12 LGPL Vrij Linux, Unix, Mac OS X, Windows
DUNE Distributed

Unified

Numerics Environment,

Geschreven in C++

DUNE Developer team 2.4.1 2016-02-29 GPL Version 2 with Run-Time Exception Vrij Linux, Unix, Mac OS X
Elmer Open source multi-fysische simulatiesoftware ontwikkeld door het Finse ministerie van educatie CSC. Hoofdzakelijk geschreven in Fortran, C en C++ CSC 8.2 2016-03-15 GPL Vrij Linux, Mac OS X, Windows
FEBio Eindige elementen voor biomechanica. University of Utah (MRL), Columbia University (MBL) 2.7 April, 2018 Custom Vrij Linux, Mac OS X, Windows
FEniCS Project Software pakket ontwikkeld met het doel om geautomatiseerd differentiaalvergelijkingen op te lossen. FEniCS Team 1.6.0 2015-07-29 LGPL (Core) & GPL/LGPL (Non-Core)[1] Vrij Linux, Unix, Mac OS X, Windows
FEATool Multiphysics MATLAB Multi fysische-simulatietoolbox voor eindige-elementenmethode. Precise Simulation 1.10 2019-05-17 Proprietary EULA Vrij voor persoonlijk gebruik[2] Windows, Mac OS X, Linux, Unix
FreeFEM[3] Vrij eindige-elementenpakket met eindige-elementenanalyse-software voor multifysische symulaties. Geschreven in C++. Sorbonne University[4] and Jacques-Louis Lions Laboratory[5] 4.2.1 2019-06-06 LGPL Vrij Linux, MacOS, Windows, Solaris
GOMA GOMA is een open source eindige-elementenpakket met eindige-elementenanalyse-software voor multifysische simulaties. Van oorsprong gebaseerd op roterende geometrie. Sandia National Laboratories, University of New Mexico 6.1 Aug 28, 2015 GPL Version 2 Vrij Linux
GetFEM++ Een algemene eindige-elementen-bibliotheek geschreven in C++ met interfaces voor Python, Matlab en Scilab. Yves Renard, Julien Pommier 5.0 2015-07 LGPL Vrij Unix, Mac OS X, Windows
Hermes Project Een modulaire C/C++-bibliotheek voor snelle ontwikkeling van tijdafhankelijke problemen. hp-FEM group 3.0 2014-03-01 LGPL Vrij Linux, Unix, Mac OS X, Windows
Mathematica[6] General purpose computation software. Wolfram Research Sjabloon:Latest stable software release/Mathematica Regularly Proprietary Linux, Mac OS X, Windows, Raspbian, Online service.
MATLAB MATLAB Toolbox for solving structural, thermal, electromagnetics, and other general PDEs MathWorks 3.3 (R2019b) 2019-09-11 Proprietary commercial software Commercieel Linux, Mac OS X, Windows
MOOSE Objectgeoriënteerde eindige-elementenvakwerk-berekeningen geschreven in C++. Idaho National Laboratory regularly LGPL Vrij Unix, Mac OS X
OOFEM Objectgeoriënteerde eindige-elementensolver geschreven in C++. Bořek Patzák 2.4 2016-02-15 GPL Version 2 Vrij Unix, Windows
OpenSees Software voor aardbevingsberekeningen aan constructies. Non Commercial Vrij Unix, Linux, Windows
SESAM (FEM) Software voor sterkte en hydrodynamische analyses van schepen en offshoreconstructies. DNV GL regularly Proprietary, SaaS Windows, Web browser
Range Software Multifysische eindige-elementenberekeningen. Tomáš Šoltys 3.0 2018-04-30 GPL Vrij Linux, Windows
Z88/Z88Aurora Gratis te gebruiken eindige-elementenpakket Z88Aurora V4, voor lineaire en niet lineaire analyses, frequentie- en thermische analyses. Frank Rieg Z88 V15, Z88Aurora V5 2017-07-17, 2019-04-01 GNU GPL, Custom Vrij Linux, Windows, Mac OS X
Abaqus Geavanceerde software van SIMULIA, eigendom van Dassault Systemes Abaqus Inc. 2019 2019-12 Proprietary commercial software Commercieel Linux, Windows
CONSELF CAE pakket voor de browser. CONSELF SRL 2.9 2015-10 SaaS Web browser
FreeCAD Parametrische driedimensionale modelleer- en rekenpakket. Ook geschikt om externe solvers te gebruiken zoals Calculix, Z88, Elmer en OpenFoam. FreeCAD Team 0.18 Sjabloon:Date LGPL 2 Vrij Linux, Windows, Mac OS X
ADINA Eindige-elementensoftware voor berekenen van constructies, vloeistof- en warmtestromen en magnetische velden. Adina R&D Proprietary commercial software Commercieel
Advance Design Software voor eindige-elementenanalyses, inclusief check volgens internationale ontwerp eurocodes GRAITEC 2014 2013-09 Proprietary commercial software Commercieel
Autodesk Simulation Eindige-elementensoftware van Autodesk. Autodesk Proprietary commercial software Commercieel Windows
ANSYS In Amerika ontwikkeld en gemaakt, volledig CAE-softwarepakket. Ansys Inc. 19.2 2018-09-18 Proprietary commercial software Commercieel en studentenversie voor 32.000 nodes/elements[7] Windows, Linux
COMSOL Multiphysics Multifysische eindige-elementenanalyse.

(voorheen FEMLAB)

COMSOL Inc. 5.5 2019-11-14 Proprietary EULA Linux, Mac OS X, Windows, Web browser
CosmosWorks onderdeel van SolidWorks Dassault Systèmes SolidWorks Corp. Proprietary commercial software Commercieel Windows
Quickfield Eindige0elementenmethode voor thermische en spanningsanalyses. Tera Analysis Ltd 6.4 [8] 2020-04-17 Proprietary EULA Commerciele en studentenversie[9] Windows
Pam Crash Vooral te gebruiken voor dynamische en botsingsanalyses. ESI 15.5.1 2020-03-05 Proprietary commercial software Commercieel Linux, Windows
LS-DYNA Vooral te gebruiken voor dynamische en botsingsanalyses. LSTC - Livermore Software Technology Corporation R8.0 2015-03 Proprietary commercial software Commercieel Linux, Windows
Nastran Door NASA ontwikkeld en commercieel verkrijgbaar bij verschillende bedrijven. MSC NASTRAN, Siemens PLM NX Nastran[10] 2014 2014 Proprietary EULA Commercieel Linux, Mac OS X, Windows
RFEM Driedimensionale eindige-elementenanalyse-software. Dlubal Software 5.06 2016-02 Proprietary commercial software Commerciele en studentenversie[11] Windows
SimScale Duits 100% web-based CAE platform SimScale GmbH 14 2013-07 SaaS Heeft ook een studentenversie[12] Web browser
VisualFEA Eindige-elementenanalyse-software voor structurele en termische belastingen. Intuition Software 5.11 2016-01 Proprietary software Commerciele en studentenversie beschikbaar[13] Mac OS X, Windows
JCMsuite Eindige-elementenanalyse-software voor structurele, termische en elektromagnetische golven. JCMwave GmbH 3.6.1 2017-01-27 Proprietary EULA Linux, Windows
JMAG Twee- en driedimensionale eindige-elementenanalyse-software voor structurele, termische en elektromagnetische velden. JSOL 18.1 2019-06 Proprietary commercial software Commercieel en studentenversie Linux, Windows, Web browser
StressCheck Eindige-elementenanalyse-software gebaseerd op hp-FEM, vooral met volume-elementen. ESRD, Inc. 10.5 2019-06-06 Proprietary commercial software Commercieel Windows
SDC Verifier Een uitbreiding van Ansys en Femap en Simcenter voor vermoeiing- knik- en bucklingberekeningen volgens internationale codes. SDC Verifier 5.3.1 2020-03 Proprietary commercial software Commercieel en studentenversie Windows