Genererende verzameling

In de abstracte algebra is een genererende verzameling of voortbrengende verzameling van een groep $G$ een deelverzameling $S\subseteq G$, zodat elk element van $G$ kan worden uitgedrukt als het product van een eindig aantal elementen van $S$ en hun inversen. Het gaat hier om het product bepaald door de bewerking die er tussen de elementen in $G$ is gedefinieerd. Als $G$ door $S$ wordt gegenereerd, schrijft men $G=\langle S\rangle$. De elementen van $S$ worden de generatoren of groepsgeneratoren genoemd.

Andersom, als $S$ een deelverzameling is van een groep $G$, dan is $\langle S\rangle$, de ondergroep gegenereerd, voortgebracht door $S$, de kleinste ondergroep van $G$ die elk element van $S$ bevat, wat betekent dat het de doorsnede is van alle ondergroepen die elk element van $S$ bevatten. Dat komt ermee overeen dat $\langle S\rangle$ de ondergroep is van alle elementen van $G$ die als het eindige product van de elementen van $S$ en hun inversen kunnen worden geschreven.

Als er maar een enkel element $x$ deel uitmaakt van $S$, wordt $\langle S\rangle$ meestal geschreven als $\langle x\rangle$. In dat geval wordt $\langle x\rangle$ door $x$ gegenereerd, heet $x$ de voortbrenger van de groep en is $\langle x\rangle$ de cyclische ondergroep van de machten van $x$, een cyclische groep.

De orde $\mathrm {ord} (x_{i})$ van een element $x_{i}\in S$ kan op twee manieren worden gedefinieerd: als het aantal elementen van $\langle x_{i}\rangle$ en als het kleinste positieve gehele getal $m_{i}$ zodat $x^{m_{i}}=e$, waarin $e$ het neutrale element van $\langle x_{i}\rangle$ is. $G$ kan met de tweede definitie als een verzameling worden geschreven. Gegeven dat

$G=\langle S\rangle =\langle x_{1},\cdots ,x_{n}\rangle$

is

$G=\{x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}\cdots x_{n}^{m_{n}}\mid x_{i}\in S\ {\mbox{en}}\ 0\leq m_{j}<\mathrm {ord} (x_{j})\}$

Altijd is $x^{0}=e\$ en $\langle e\rangle$ is de groep met alleen het neutrale element $e$.

Voorbeelden

• De groep $(\mathbb {Z} ,+)$ wordt door een element voortgebracht, maar de groepen $(\mathbb {Q} ,+)$, $(\mathbb {R} ,+)$ en $(\mathbb {C} ,+)$ zijn niet eindig voortgebracht.

Websites

• (en) MathWorld. Group Generators