Inverteerbaar

Grafiek met functie $f(x)$ en de inverse van $f(x)$

In de wiskunde wordt een afbeelding of functie inverteerbaar of bijectief genoemd als er een afbeelding in de omgekeerde richting bestaat die precies de 'tegengestelde' is van $f.$ Deze afbeelding heet de inverse van $f$ en wordt genoteerd als $f^{-1}$ (spreek uit als f-invers). Preciezer gezegd, als $f:X\to Y$ een afbeelding is van een verzameling $X$ naar een verzameling $Y,$ dan heet $f^{-1}:Y\to X$ de inverse van $f$ als hij aan de volgende twee voorwaarden voldoet:

• Voor alle $x\in X$ geldt $f^{-1}(f(x))=x$.
• Voor alle $y\in Y$ geldt $f(f^{-1}(y))=y$.

Deze voorwaarden kunnen ook geschreven worden als $f^{-1}\circ f=\mathrm {id} _{X}$ ($f^{-1}$ is een linksinverse van $f$) en $f\circ f^{-1}=\mathrm {id} _{Y}$ ($f^{-1}$ is een rechtsinverse van $f$). Hier staat het symbool $\circ$ ('na') voor de samenstelling van twee afbeeldingen en $\mathrm {id} _{X}$ en $\mathrm {id} _{Y}$ voor de identieke afbeelding op $X$ respectievelijk $Y.$

Een functie $f$ van een verzameling $X$ naar een verzameling $Y$ is dan en slechts dan inverteerbaar als er voor ieder element $y\in Y$ precies één element $x\in X$ is waarvoor $f(x)=y$. Een andere manier om dit te zeggen is dat $f$ zowel injectief is (voor elke $y\in Y$ is er hoogstens één $x\in X$ met $f(x)=y$) als surjectief (voor elke $y$ is er minstens een zo'n $x$).

Bij een functie $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ontstaat de grafiek van de functie $f^{-1}$ door lijnspiegeling van de grafiek van $f$ in de lijn $y=x$.