Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde zijn de laguerre-polynomen , genoemd naar Edmond Laguerre (1834 - 1886), de oplossingen van de differentiaalvergelijking van Laguerre:
x
y
″
+
(
1
−
x
)
y
′
+
n
y
=
0
,
n
=
0
,
1
,
2
,
3
…
{\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,\,\qquad n=0,1,2,3\ldots }
De oplossing is een polynoom van de graad n , het n-de de laguerre-polynoom, laat zich volgens de rodriguez-formule weergeven als
L
n
(
x
)
=
e
x
n
!
d
n
d
x
n
(
x
n
e
−
x
)
.
{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x}).}
Laguerre-polynomen vinden een toepassing in de kwantummechanica , in het radiële deel van de oplossing van de schrödingervergelijking voor een 1-elektron atoom.
Fysici gebruiken vaak een definitie waarbij de orde van de polynoom wordt aangeduid met n! (n faculteit), in plaats van n.
Eerste Laguerre-polynomen De eerste 5 laguerre-polynomen.
n
L
n
(
x
)
{\displaystyle L_{n}(x)\,}
0
1
{\displaystyle 1\,}
1
−
x
+
1
{\displaystyle -x+1\,}
2
1
2
(
x
2
−
4
x
+
2
)
{\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,}
3
1
6
(
−
x
3
+
9
x
2
−
18
x
+
6
)
{\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,}
4
1
24
(
x
4
−
16
x
3
+
72
x
2
−
96
x
+
24
)
{\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,}
5
1
120
(
−
x
5
+
25
x
4
−
200
x
3
+
600
x
2
−
600
x
+
120
)
{\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,}
6
1
720
(
x
6
−
36
x
5
+
450
x
4
−
2400
x
3
+
5400
x
2
−
4320
x
+
720
)
{\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}
Recursie Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:
(
n
+
1
)
L
n
+
1
(
x
)
=
(
2
n
+
1
−
x
)
L
n
(
x
)
−
n
L
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle \,(n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x)\,}
en
x
L
n
′
(
x
)
=
n
L
n
(
x
)
−
n
L
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle \,xL_{n}'(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x)\,}
Orthogonaliteit Laguerre-polynomen zijn orthogonaal ten opzichte van elkaar met betrekking tot het volgende inproduct :
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
0
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
e
−
x
d
x
.
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}
Contourintegraal De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal :
L
n
(
x
)
=
1
2
π
i
∮
e
−
x
z
/
(
1
−
z
)
(
1
−
z
)
z
n
+
1
d
z
{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-xz/(1-z)}}{(1-z)\,z^{n+1}}}\;dz}
Gegeneraliseerde laguerre-polynomen De polynoom-oplossingen van de differentiaalvergelijking
x
y
″
+
(
α
+
1
−
x
)
y
′
+
n
y
=
0
{\displaystyle xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0}
worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.
De formule van Rodriguez voor deze polynomen is
L
n
(
α
)
(
x
)
=
x
−
α
e
x
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
+
α
)
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)}
De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:
L
n
(
0
)
(
x
)
=
L
n
(
x
)
.
{\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}
De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn:
L
0
(
α
)
(
x
)
=
1
L
1
(
α
)
(
x
)
=
−
x
+
α
+
1
L
2
(
α
)
(
x
)
=
x
2
2
−
(
α
+
2
)
x
+
(
α
+
2
)
(
α
+
1
)
2
L
3
(
α
)
(
x
)
=
−
x
3
6
+
(
α
+
3
)
x
2
2
−
(
α
+
2
)
(
α
+
3
)
x
2
+
(
α
+
1
)
(
α
+
2
)
(
α
+
3
)
6
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\L_{1}^{(\alpha )}(x)&=-x+\alpha +1\\L_{2}^{(\alpha )}(x)&={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}\\L_{3}^{(\alpha )}(x)&={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}\end{aligned}}}
Zie ook Externe links 
