Periodieke groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een periodieke groep of torsiegroep een groep, waarin elk element een eindige orde heeft. Alle eindige groepen zijn periodiek. Het concept van een periodieke groep moet niet worden verward met dat van een cyclische groep, dit hoewel alle eindige cyclische groepen ook periodiek zijn.

De exponent van een periodieke groep G is het kleinste gemene veelvoud, indien aanwezig, van de orden van de elementen van G. Elke eindige groep heeft een exponent: het is een deler van |G|.

Het probleem van Burnside is een klassiek probleem, dat zich bezighoudt met de relatie tussen de periodieke groepen en eindige groepen, dit onder de aanname dat alleen G een eindig-gegenereerde groep is. De vraag is of het specificeren van een exponent eindigheid afdwingt. Het antwoord op deze vraag is in het algemeen 'nee'.

Oneindige voorbeelden van periodieke groepen zijn onder andere de additieve groep van de veeltermring over een eindig lichaam, en de quotiëntgroep van de rationale getallen door de gehele getallen, evenals hun directe summanda, de Prüfer-groepen. Geen van deze voorbeelden heeft een eindige genererende verzameling. Expliciete voorbeelden van eindig gegenereerde oneindige periodieke groepen werden geconstrueerd door Golod, gebaseerd op de gezamenlijke werk met Shafarevich, en door Aleshin en Grigorchuk die gebruik maakten van automata.

Externe link[bewerken]

Zie ook[bewerken]