Rationale functie

Een rationale functie is een functie in de vorm van een breuk waarvan zowel de teller als de noemer een polynoom is. Een rationale functie is dus het quotiënt van twee polynomen; een synoniem is veeltermbreuk.

Definitie

Een rationale functie $q$ in één veranderlijke is een functie van de vorm:

$q(x)={\frac {t(x)}{n(x)}}$,

waarin zowel $t(x)$ als $n(x)$ een polynoom in $x$ is en $n$ niet de nulpolynoom is.

Op soortgelijke manier wordt een rationale functie $Q$ in n veranderlijken gedefinieerd als een quotiënt van de vorm:

$Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={T(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}) \over N(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

met T en N polynomen in n veranderlijken en $N$ niet de nulpolynoom is. De coëfficiënten van T en N zijn element van een ring R.

Kruislings vermenigvuldigen

Als twee rationale functies aan elkaar gelijk zijn, dus

${T_{1}(x) \over N_{1}(x)}={T_{2}(x) \over N_{2}(x)}$

geldt dat

$T_{1}(x)\cdot N_{2}(x)=T_{2}(x)\cdot N_{1}(x)$

Definities en gebruik

De verzameling van deze breuken over de ring A wordt aangeduid met A(x) of $R(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$. Ter onderscheid gebruikt men meestal rechte haken voor de veeltermring: A[x] of $A[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$.

Wanneer bij de rationele functie de noemer een nulpunt heeft die géén nulpunt is van de teller spreekt men van een verticale asymptoot.

Rationale functies komen voor in veel takken van de wiskunde en de techniek: onder andere in regeltechniek, elektrotechniek en communicatietechniek. Dikwijls komen de rationale functies uit een Laplacetransformatie of Fouriertransformatie van een differentiaalvergelijking voort.

Om een rationale functie te integreren is breuksplitsing daarbij een goed middel.