Orthogonale groep

In de wiskunde is de orthogonale groep van graad n over een veld F (geschreven als O(n,F)) de groep van n-bij-n orthogonale matrices met ingegeven waardes uit F, waar de groepsbewerking die van de matrixvermenigvuldiging is. Dit is een ondergroep van de algemene lineaire groep GL(n,F) gegeven door

$\mathrm {O} (n,F)=\{Q\in \mathrm {GL} (n,F)\mid Q^{T}Q=QQ^{T}=I\}.$

waar Q^T de getransponeerde van Q is. De klassieke orthogonale groep over de reële getallen wordt meestal als O(n) geschreven.

Meer in het algemeen is de orthogonale groep van een niet-singuliere kwadratische vorm over F de groep van matrices die deze kwadratische vorm bewaart. De stelling van Cartan-Dieudonné beschrijft de wiskundige structuur van de orthogonale groep.

Elke orthogonale matrix heeft een determinant die of gelijk is aan 1 of gelijk is aan -1. De orthogonale n-bij-n matrices met determinant 1 vormen een normaaldeler van O(n,F), die bekendstaat als de speciale orthogonale groep SO(n,F). Als de karakteristiek van F gelijk is aan 2, dan geldt dat 1 = -1, en vallen O(n,F) en SO(n,F) dus samen, anders is de nevenklasse van SO(n,F) in O(n,F) gelijk aan 2. In karakteristiek 2 en met even dimensie, definiëren vele auteurs SO(n,F) alternatief als de kern van de Dickson-invariant; dan heeft het meestal index 2 in O(n,F).

Zowel O(n,F) als SO(n,F) zijn algebraïsche groepen, omdat de voorwaarde dat een matrix orthogonaal moet zijn, dat wil zeggen dat een matrix zijn eigen getransponeerde als inverse moet hebben, kan worden uitgedrukt als een verzameling van polynomiale vergelijkingen in de ingevoerde waarden van de matrix.

Externe links

• John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105
• John Baez over Octonionen