Coördinatentransformatie

Een coördinatentransformatie is het omrekenen van de coördinaten van een object in het ene coördinatenstelsel naar de coördinaten in een ander stelsel. Om verschillende redenen kan het nodig of handig zijn een object dat in een bepaald coördinatenstelsel gegeven is, te beschrijven in een ander stelsel. De overgang op een ander coördinatenstelsel kan een basistransformatie in een vectorruimte zijn, maar ook de overgang van rechthoekige cartesische coördinaten op bolcoördinaten.

Bij een coördinatentransformatie verandert het object dus niet van positie, maar wordt het alleen maar beschreven in een ander stelsel. Een zogeheten passieve rotatie, waarbij het assenstelsel geroteerd wordt, is een voorbeeld van een coördinatentransformatie.

Landmeetkunde

In de landmeetkunde past men vooral passieve coördinatentransformaties toe die gelijkvormigheidstransformatie genoemd worden (transformaties zoals de affiene transformatie en rubbersheeting komen ook voor). Daarbij blijft de vorm van een object behouden, slechts de schaal wordt mogelijk veranderd. Een dergelijke gelijkvormigheidstransformatie kan men opgebouwd denken uit drie speciale coördinatentransformaties: verschaling, verschuiving en draaiing. De volgorde van deze drie operaties is willekeurig te kiezen, maar dit heeft wel gevolgen voor de waarden van de parameters.

• Verschaling: Hierbij wordt slechts de schaal aangepast; de oorsprong van beide systemen zijn gelijk en de richting van het object wordt niet veranderd. In de landmeetkunde kunnen (kleine) verschillen bestaan in de gemeten lengtes in het ene systeem ten opzichte van het andere. Een bepaalde afstand kan bijvoorbeeld in het ene systeem (A) 100 m bedragen en in het andere (B) 101 m blijken te zijn. In zo'n geval worden de lengtes van systeem A met 1,01 worden vermenigvuldigd om ze in overeenstemming met systeem B te brengen.
• Verschuiving: Hierbij wordt het gehele systeem over een vaste afstand verschoven. De oorsprongen van beide systemen zullen niet hetzelfde zijn. Zo werd vroeger vaak gemeten in een gemeentelijk stelsel waarbij de hoogste kerktoren als nulpunt fungeerde. Om het in overeenstemming te brengen met een landelijk stelsel, moet het verschil tussen de beide nulpuntcoördinaten bij het gemeentelijke stelsel worden opgeteld.
• Draaiing: Hierbij wordt het gehele systeem om de oorsprong over gehele hoek gedraaid. De richting van de beide stelsels zullen afwijken. Om de beide kaartnoordens van twee systemen met elkaar te laten samenvallen, moet een van de systemen gedraaid worden over de hoek tussen de beide kaartnoordens.

Tegenwoordig wordt bijna altijd direct in het landelijke stelsel gemeten (in Nederland in Rijksdriehoekscoördinaten), zodat voor kleine metingen geen transformatie hoeft te worden toegepast. Voor transformaties tussen nationale en regionale coördinatensystemen zijn vaak officieel vastgestelde transformaties beschikbaar.

Wiskunde

Algemeen

Naast het omrekenen van de coördinaten zelf is vaak ook van belang het omrekenen van kleine veranderingen van de coördinaten. Daartoe wordt in het geval van een niet-lineaire transformatie deze lokaal benaderd door een affiene, zodat het omrekenen van de veranderingen een lineaire transformatie is, gegeven door de Jacobiaan. De determinant van de Jacobiaan geeft de plaatselijke vergrotingsfactor van (bijvoorbeeld in een driedimensionale ruimte) de volumes, waarbij een negatieve waarde aangeeft dat er ook spiegeling bij komt. Bij een coördinatentransformatie voor de berekening van een meervoudige integraal moet met die factor rekening worden gehouden. In het eendimensionale geval trouwens ook (integratie door substitutie).

Basistransformatie

Als bij een coördinatentransformatie in een vectorruimte de oorsprong van de beide coördinatenstelsels dezelfde is, spreekt men in de lineaire algebra van een basistransformatie. De overgang van de ene op de andere basis wordt beschreven door een lineaire afbeelding die ook met coördinatentransformatie wordt aangeduid.